题目
3.设总体X的概率密度为-|||-(x;theta )= ) theta ,0lt xlt 1 1-theta ,1leqslant xlt 2 .-|||-其中 theta (0lt theta lt 1) 是未知参数,x1,x2···,xn为来自总体X的简单随机样本,求θ的矩估计量.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算总体X的期望值
总体X的期望值E(X)可以通过对概率密度函数f(x;θ)进行积分计算得到。根据概率密度函数的定义，期望值E(X)为：
$$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x; \theta) dx$$
步骤 2：将概率密度函数代入期望值公式
将给定的概率密度函数代入期望值公式，得到：
$$E(X) = \int_{0}^{1} x \theta dx + \int_{1}^{2} x (1-\theta) dx$$
步骤 3：计算积分
计算上述积分，得到：
$$E(X) = \theta \int_{0}^{1} x dx + (1-\theta) \int_{1}^{2} x dx$$
$$E(X) = \theta \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} + (1-\theta) \left[\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{2}$$
$$E(X) = \theta \left(\frac{1}{2} - 0\right) + (1-\theta) \left(\frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right)$$
$$E(X) = \frac{\theta}{2} + \frac{3}{2} - \frac{3\theta}{2}$$
$$E(X) = \frac{3}{2} - \theta$$
步骤 4：求解矩估计量
矩估计量是通过将样本的矩与总体的矩相等来估计参数的。在本题中，我们使用一阶矩（即期望值）来估计参数θ。令样本均值$\hat{x}$等于总体期望值E(X)，得到：
$$\hat{x} = \frac{3}{2} - \theta$$
解得：
$$\hat{\theta} = \frac{3}{2} - \hat{x}$$
总体X的期望值E(X)可以通过对概率密度函数f(x;θ)进行积分计算得到。根据概率密度函数的定义，期望值E(X)为：
$$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x; \theta) dx$$
步骤 2：将概率密度函数代入期望值公式
将给定的概率密度函数代入期望值公式，得到：
$$E(X) = \int_{0}^{1} x \theta dx + \int_{1}^{2} x (1-\theta) dx$$
步骤 3：计算积分
计算上述积分，得到：
$$E(X) = \theta \int_{0}^{1} x dx + (1-\theta) \int_{1}^{2} x dx$$
$$E(X) = \theta \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} + (1-\theta) \left[\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{2}$$
$$E(X) = \theta \left(\frac{1}{2} - 0\right) + (1-\theta) \left(\frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right)$$
$$E(X) = \frac{\theta}{2} + \frac{3}{2} - \frac{3\theta}{2}$$
$$E(X) = \frac{3}{2} - \theta$$
步骤 4：求解矩估计量
矩估计量是通过将样本的矩与总体的矩相等来估计参数的。在本题中，我们使用一阶矩（即期望值）来估计参数θ。令样本均值$\hat{x}$等于总体期望值E(X)，得到：
$$\hat{x} = \frac{3}{2} - \theta$$
解得：
$$\hat{\theta} = \frac{3}{2} - \hat{x}$$