设随机变量X,Y相互独立，Xsim N(0,1)，Ysim N(1,1),则（）A. PX+Yleqslant 0=(1)/(2)B. PX+Yleqslant 1=(1)/(2)C. PX-Yleqslant 0=(1)/(2)D. PX-Yleqslant 1=(1)/(2)

考查要点：本题主要考查独立正态随机变量的线性组合的分布以及标准正态分布的概率计算。

解题核心思路：

1. 确定和与差的分布：利用独立正态变量的性质，求出$X+Y$和$X-Y$的均值与方差，确定它们的正态分布形式。
2. 标准化处理：将题目中的不等式转化为标准正态分布形式，判断对应的概率是否为$\frac{1}{2}$。
3. 关键判断点：若标准化后的值等于分布的均值，则对应概率为$\frac{1}{2}$。

破题关键：

• 独立正态变量的线性组合：若$X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2)$，$Y \sim N(\mu_Y, \sigma_Y^2)$，则$X+Y \sim N(\mu_X+\mu_Y, \sigma_X^2+\sigma_Y^2)$，$X-Y \sim N(\mu_X-\mu_Y, \sigma_X^2+\sigma_Y^2)$。
• 标准正态分布的对称性：当标准化后的值为$0$时，概率为$\frac{1}{2}$。

步骤1：确定$X+Y$和$X-Y$的分布

• $X+Y$的分布：
  均值 $\mu_{X+Y} = \mu_X + \mu_Y = 0 + 1 = 1$，
  方差 $\sigma_{X+Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 1 + 1 = 2$，
  因此 $X+Y \sim N(1, 2)$。

• $X-Y$的分布：
  均值 $\mu_{X-Y} = \mu_X - \mu_Y = 0 - 1 = -1$，
  方差 $\sigma_{X-Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 1 + 1 = 2$，
  因此 $X-Y \sim N(-1, 2)$。

步骤2：分析各选项

选项A：$P\{X+Y \leqslant 0\} = \frac{1}{2}$

• 标准化：
  $P\left\{ \frac{X+Y - 1}{\sqrt{2}} \leqslant \frac{0 - 1}{\sqrt{2}} \right\} = P\left\{ Z \leqslant -\frac{1}{\sqrt{2}} \right\}$
  对应概率小于$\frac{1}{2}$，故错误。

选项B：$P\{X+Y \leqslant 1\} = \frac{1}{2}$

• 标准化：
  $P\left\{ \frac{X+Y - 1}{\sqrt{2}} \leqslant \frac{1 - 1}{\sqrt{2}} \right\} = P\{ Z \leqslant 0 \} = \frac{1}{2}$
  故正确。

选项C：$P\{X-Y \leqslant 0\} = \frac{1}{2}$

• 标准化：
  $P\left\{ \frac{X-Y +1}{\sqrt{2}} \leqslant \frac{0 +1}{\sqrt{2}} \right\} = P\left\{ Z \leqslant \frac{1}{\sqrt{2}} \right\}$
  对应概率大于$\frac{1}{2}$，故错误。

选项D：$P\{X-Y \leqslant 1\} = \frac{1}{2}$

• 标准化：
  $P\left\{ \frac{X-Y +1}{\sqrt{2}} \leqslant \frac{1 +1}{\sqrt{2}} \right\} = P\left\{ Z \leqslant \sqrt{2} \right\}$
  对应概率约为$0.977$，故错误。