题目
4【判断题】若总体X的方差为sigma^2，X_(1)，X_(2)，…，X_(n)为总体X的一组样本，则D(overline(X))=(sigma^2)/(n)（ ）bigcirc对 bigcirc错
4【判断题】
若总体X的方差为$\sigma^{2}$，$X_{1}$，$X_{2}$，…，$X_{n}$为总体X的
一组样本，则$D(\overline{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}$（ ）
$\bigcirc$对 $\bigcirc$错
题目解答
答案
样本均值 $\overline{X}$ 的方差计算如下：
\[
D(\overline{X}) = D\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}
\]
因此，题目陈述正确。
答案：$\boxed{\text{对}}$
解析
考查要点：本题主要考查样本均值的方差计算，涉及方差的性质及独立同分布条件下协方差的应用。
解题核心思路：
- 样本均值的定义：$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$。
- 方差的线性性质：若随机变量独立，则方差可加，且常数平方后作用于方差。
- 独立同分布假设：样本间相互独立，方差均为$\sigma^2$，协方差为0。
破题关键点：
- 将$\overline{X}$表示为样本的线性组合，利用方差的线性性质展开。
- 利用独立性消去协方差项，仅保留各$X_i$的方差之和。
步骤1：写出样本均值的表达式
样本均值为：
$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$
步骤2：计算方差
根据方差的线性性质：
$D\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i\right) = \sum_{i=1}^n a_i^2 D(X_i) + 2\sum_{1 \le i < j \le n} a_i a_j \text{Cov}(X_i, X_j)$
由于样本独立，$\text{Cov}(X_i, X_j) = 0$，因此：
$D\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n D(X_i)$
步骤3：代入方差值
每个$D(X_i) = \sigma^2$，故：
$D(\overline{X}) = \frac{1}{n^2} \cdot n \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$
结论：题目陈述正确。