题目

已知 Xsim N(1,3^2),Ysim N(0,4^2)，且X与Y的相关系数为-0.5，设 Z=(X)/(3)-(Y)/(4)，则D(Z)= [填空1]；rho_(XZ) =[填空2]

已知 $X\sim N(1,3^{2}),Y\sim N(0,4^{2})$，且X与Y的相关系数为-0.5，设 $Z=\frac{X}{3}-\frac{Y}{4}$，则D(Z)= [填空1]； $\rho_{XZ} $=[填空2]

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们需要找到随机变量 $Z = \frac{X}{3} - \frac{Y}{4}$ 的方差 $D(Z)$ 和相关系数 $\rho_{XZ}$。让我们一步步来解决。 ### 第一步：找到 $D(Z)$ 已知 $X \sim N(1, 3^2)$ 和 $Y \sim N(0, 4^2)$，我们有： \[D(X) = 9\] \[D(Y) = 16\] $X$ 和 $Y$ 的相关系数为 $\rho_{XY} = -0.5$。 $Z$ 的方差可以使用两个随机变量线性组合的方差公式来计算： \[D(Z) = D\left(\frac{X}{3} - \frac{Y}{4}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^2 D(X) + \left(-\frac{1}{4}\right)^2 D(Y) + 2 \left(\frac{1}{3}\right) \left(-\frac{1}{4}\right) \rho_{XY} \sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}\] 代入已知的值： \[D(Z) = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot 9 + \left(-\frac{1}{4}\right)^2 \cdot 16 + 2 \left(\frac{1}{3}\right) \left(-\frac{1}{4}\right) (-0.5) \sqrt{9} \sqrt{16}\] \[D(Z) = \frac{1}{9} \cdot 9 + \frac{1}{16} \cdot 16 + 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot 0.5 \cdot 3 \cdot 4\] \[D(Z) = 1 + 1 + 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot 0.5 \cdot 12\] \[D(Z) = 1 + 1 + 2 \cdot \frac{1}{12} \cdot 6\] \[D(Z) = 1 + 1 + 1\] \[D(Z) = 3\] ### 第二步：找到 $\rho_{XZ}$ $X$ 和 $Z$ 的相关系数由下式给出： \[\rho_{XZ} = \frac{\text{Cov}(X, Z)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Z)}}\] 首先，我们需要找到协方差 $\text{Cov}(X, Z)$： \[\text{Cov}(X, Z) = \text{Cov}\left(X, \frac{X}{3} - \frac{Y}{4}\right) = \frac{1}{3} \text{Cov}(X, X) - \frac{1}{4} \text{Cov}(X, Y)\] \[\text{Cov}(X, Z) = \frac{1}{3} D(X) - \frac{1}{4} \rho_{XY} \sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}\] \[\text{Cov}(X, Z) = \frac{1}{3} \cdot 9 - \frac{1}{4} \cdot (-0.5) \cdot 3 \cdot 4\] \[\text{Cov}(X, Z) = 3 + \frac{1}{4} \cdot 0.5 \cdot 12\] \[\text{Cov}(X, Z) = 3 + \frac{1}{4} \cdot 6\] \[\text{Cov}(X, Z) = 3 + \frac{3}{2}\] \[\text{Cov}(X, Z) = \frac{6}{2} + \frac{3}{2}\] \[\text{Cov}(X, Z) = \frac{9}{2}\] 现在，我们可以找到相关系数 $\rho_{XZ}$： \[\rho_{XZ} = \frac{\text{Cov}(X, Z)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Z)}} = \frac{\frac{9}{2}}{\sqrt{9} \sqrt{3}} = \frac{\frac{9}{2}}{3 \sqrt{3}} = \frac{9}{6 \sqrt{3}} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\] 因此，答案是： \[D(Z) = \boxed{3}\] \[\rho_{XZ} = \boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

解析

考查要点：本题主要考查正态分布变量线性组合的方差计算以及相关系数的求解，涉及协方差的性质和相关系数的定义。

解题核心思路：

  1. 方差计算：利用线性组合的方差公式，将$Z$的方差分解为$X$和$Y$的方差及协方差的组合。
  2. 相关系数计算：通过协方差公式计算$\text{Cov}(X,Z)$，再结合方差结果求相关系数。

破题关键点：

  • 方差公式：$D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2ab\text{Cov}(X,Y)$。
  • 协方差性质：$\text{Cov}(X, aX + bY) = aD(X) + b\text{Cov}(X,Y)$。
  • 相关系数公式：$\rho_{XZ} = \frac{\text{Cov}(X,Z)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Z)}}$。

第（1）题：求$D(Z)$

应用线性组合方差公式

根据题意，$Z = \frac{X}{3} - \frac{Y}{4}$，方差公式为：
$D(Z) = \left(\frac{1}{3}\right)^2 D(X) + \left(-\frac{1}{4}\right)^2 D(Y) + 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) \text{Cov}(X,Y)$

代入已知数据

  • $D(X) = 3^2 = 9$，$D(Y) = 4^2 = 16$
  • $\text{Cov}(X,Y) = \rho_{XY} \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y = (-0.5) \cdot 3 \cdot 4 = -6$

计算得：
$\begin{aligned}D(Z) &= \frac{1}{9} \cdot 9 + \frac{1}{16} \cdot 16 + 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) \cdot (-6) \\&= 1 + 1 + 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot 6 \\&= 1 + 1 + 1 = 3\end{aligned}$

第（2）题：求$\rho_{XZ}$

计算协方差$\text{Cov}(X,Z)$

$\begin{aligned}\text{Cov}(X,Z) &= \text{Cov}\left(X, \frac{X}{3} - \frac{Y}{4}\right) \\&= \frac{1}{3} \text{Cov}(X,X) - \frac{1}{4} \text{Cov}(X,Y) \\&= \frac{1}{3} D(X) - \frac{1}{4} \cdot (-6) \\&= \frac{1}{3} \cdot 9 + \frac{6}{4} = 3 + 1.5 = 4.5\end{aligned}$

代入相关系数公式

$\rho_{XZ} = \frac{\text{Cov}(X,Z)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Z)}} = \frac{4.5}{3 \cdot \sqrt{3}} = \frac{9/2}{3\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$