题目

若_(i)sim N(0,1), =1,2,(X)_(1),(X)_(2)独立，则_(i)sim N(0,1), =1,2,(X)_(1),(X)_(2)()A.对B.错

若 $X_i\sim N(0,1),i=1,2,X_1,X_2$ 独立，则 $E(X_1^2+X_2^2)=2$ ()

A.对

B.错

题目解答

答案

因为 $X_i\sim N(0,1),i=1,2,X_1,X_2$ 独立，所以 $X_1^2与X_2^2$ 也相互独立，且 $E(X_i)=0,D(X_i)=1,$ $E(X_i^2)=D(X_i)+E^2(X_i)=1+0=1$ $\left(i=1,2\right)$ ，所以 $E(X_1^2+X_2^2)=E(X_1^2)+E(X_2^2)$ $=1+1=2$ ，故选A

解析

考查要点：本题主要考查标准正态分布的性质、期望的线性性质以及方差与期望的关系。

解题核心思路：

标准正态分布的性质：若$X \sim N(0,1)$，则$E(X)=0$，$D(X)=1$。
方差与期望的关系：$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$，由此可推导出$E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2$。
期望的线性性质：对于任意随机变量$X$和$Y$，无论是否独立，均有$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$。

破题关键点：

利用标准正态分布的方差和期望，计算$E(X_1^2)$和$E(X_2^2)$。
通过期望的线性性质将$E(X_1^2 + X_2^2)$分解为两个独立项的期望之和。

计算单个变量的平方期望
对于$X_i \sim N(0,1)$，有：
$E(X_i) = 0, \quad D(X_i) = 1.$
根据方差的定义：
$D(X_i) = E(X_i^2) - [E(X_i)]^2.$
代入已知条件：
$1 = E(X_i^2) - 0^2 \implies E(X_i^2) = 1.$
计算总和的期望
由于$X_1$和$X_2$独立，但期望的线性性质不依赖独立性，直接相加：
$E(X_1^2 + X_2^2) = E(X_1^2) + E(X_2^2) = 1 + 1 = 2.$

结论：题目中的等式成立，故选A。