一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数．（1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；（2）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率．

解：（1）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此X∼B（20，0.4），X的分布列为：
${p}_{1k}=P（X=k）={C}_{20}^{k}×0．{4}^{k}×0．{6}^{20-k}$，k=0，1，2，…，20，
E（X）=np=20×0.4=8，
对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为：
${p}_{2k}=P（X=k）=\frac{{C}_{40}^{k}{C}_{60}^{20-k}}{{C}_{100}^{20}}$，k=0，1，2，…，20，
$E（X）=\frac{nM}{N}=\frac{20×40}{100}=8$；
（2）利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值（精确到0.0001），如下表所示：

k	p1k	p2k	k	p1k	p2k
0	0.00004	0.00001	11	0.07099	0.06376
1	0.00049	0.00015	12	0.03550	0.02667
2	0.00309	0.00135	13	0.01456	0.00867
3	0.01235	0.00714	14	0.00485	0.00217
4	0.03499	0.02551	15	0.00129	0.00041
5	0.07465	0.06530	16	0.00027	0.00006
6	0.12441	0.12422	17	0.00004	0.00001
7	0.16588	0.17972	18	0.00000	0.00000
8	0.17971	0.20078	19	0.00000	0.00000
9	0.15974	0.17483	20	0.00000	0.00000
10	0.11714	0.11924

样本中黄球的比例${f}_{20}=\frac{X}{20}$是一个随机变量，根据上表，计算得，
有放回摸球：P（|f₂₀-0.4|≤0.1）=P（6≤X≤10）≈0.7469，
不放回摸球：P（|f₂₀-0.4|≤0.1）=P（6≤X≤10）≈0.7988，
因此在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些，
两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布，虽然这两种分布有相等的均值（都是8），但从两种分布的概率分布图（下图）看，超几何分布更集中在均值附近，

二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同，对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似．