题目
19.求曲线y=x^2-2x与直线y=0，x=1及x=3所围成的图形的面积，并求该图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.
19.求曲线$y=x^{2}-2x$与直线y=0，x=1及x=3所围成的图形的面积，并求该图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.
题目解答
答案
- 计算面积 $ S $ 分段积分： $S = \int_{1}^{2} [0 - (x^2 - 2x)] \, dx + \int_{2}^{3} [(x^2 - 2x) - 0] \, dx = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2$ 2. 计算体积 $ V $ 使用圆柱壳法： $V = 2\pi \int_{1}^{2} x [0 - (x^2 - 2x)] \, dx + 2\pi \int_{2}^{3} x [(x^2 - 2x) - 0] \, dx = \frac{11\pi}{6} + \frac{43\pi}{6} = 9\pi$ 答案： $\boxed{ \begin{array}{ll} \text{面积 } S = 2 \\ \text{体积 } V = 9\pi \end{array} }$
解析
本题主要考查利用定积分求平面图形的面积以及旋转体的体积。解题思路如下：
1. 求所围成图形的面积
- 首先，需要确定曲线$y = x^2 - 2x$与直线$y = 0$，$x = 1$及$x = 3$所围成图形的特点。令$y = x^2 - 2x = 0$，即$x(x - 2)=0$，解得$x = 0$或$x = 2$。
- 然后，分析在区间$[1, 2]$和$[2, 3]$上曲线$y = x^2 - 2x$与直线$y = 0$的位置关系：
- 在区间$[1, 2]$上，$x^2 - 2x\leqslant0$，此时直线$y = 0$在曲线$y = x^2 - 2x$的上方，所以该部分图形的面积$S_1=\int_{1}^{2}[0-(x^2 - 2x)]dx$。
- 在区间$[2, 3]$上，$x^2 - 2x\geqslant0$，此时曲线$y = x^2 - 2x$在直线$y = 0$的上方，所以该部分图形的面积$S_2=\int_{2}^{3}[(x^2 - 2x)-0]dx$。
- 最后，所围成图形的总面积$S = S_1 + S_2$。
- 计算$S_1$：
$\begin{align*}S_1&=\int_{1}^{2}( -x^2 + 2x)dx\\&=(-\frac{1}{3}x^3 + x^2)\big|_{1}^{2}\\&=(-\frac{1}{3}\times2^3 + 2^2)-(-\frac{1}{3}\times1^3 + 1^2)\\&=(-\frac{8}{3}+4)-(-\frac{1}{3}+1)\\&=\frac{4}{3}-\frac{2}{3}\\&=\frac{2}{3}\end{align*}$ - 计算$S_2$：
$\begin{align*}S_2&=\int_{2}^{3}(x^2 - 2x)dx\\&=(\frac{1}{3}x^3 - x^2)\big|_{2}^{3}\\&=(\frac{1}{3}\times3^3 - 3^2)-(\frac{1}{3}\times2^3 - 2^2)\\&=(9 - 9)-(\frac{8}{3}-4)\\&=0-(-\frac{4}{3})\\&=\frac{4}{3}\end{align*}$ - 则总面积$S = S_1 + S_2=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2$。
- 计算$S_1$：
2. 求旋转体的体积
- 采用圆柱壳法来求该图形绕$y$轴旋转一周所得旋转体的体积。
- 同样根据区间$[1, 2]$和$[2, 3]$分别计算体积：
- 在区间$[1, 2]$上，旋转体体积$V_1 = 2\pi\int_{1}^{2}x[0-(x^2 - 2x)]dx=2\pi\int_{1}^{2}(-x^3 + 2x^2)dx$。
- 在区间$[2, 3]$上，旋转体体积$V_2 = 2\pi\int_{2}^{3}x[(x^2 - 2x)-0]dx=2\pi\int_{2}^{3}(x^3 - 2x^2)dx$。
- 旋转体的总体积$V = V_1 + V_2$。
- 计算$V_1$：
$\begin{align*}V_1&=2\pi\int_{1}^{2}(-x^3 + 2x^2)dx\\&=2\pi(-\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^3)\big|_{1}^{2}\\&=2\pi\left[(-\frac{1}{4}\times2^4+\frac{2}{3}\times2^3)-(-\frac{1}{4}\times1^4+\frac{2}{3}\times1^3)\right]\\&=2\pi\left[(-4+\frac{16}{3})-(-\frac{1}{4}+\frac{2}{3})\right]\\&=2\pi\left(\frac{4}{3}-\frac{5}{12}\right)\\&=2\pi\times\frac{11}{12}\\&=\frac{11\pi}{6}\end{align*}$ - 计算$V_2$：
$\begin{align*}V_2&=2\pi\int_{2}^{3}(x^3 - 2x^2)dx\\&=2\pi(\frac{1}{4}x^4-\frac{2}{3}x^3)\big|_{2}^{3}\\&=2\pi\left[(\frac{1}{4}\times3^4-\frac{2}{3}\times3^3)-(\frac{1}{4}\times2^4-\frac{2}{3}\times2^3)\right]\\&=2\pi\left[(\frac{81}{4}-18)- (4-\frac{16}{3})\right]\\&=2\pi\left(\frac{9}{4}-\frac{4}{3}\right)\\&=2\pi\times\frac{17}{12}\\&=\frac{43\pi}{6}\end{align*}$ - 则总体积$V = V_1 + V_2=\frac{11\pi}{6}+\frac{43\pi}{6}=9\pi$。
- 计算$V_1$：