题目

f(x) 是以T为周期的函数，下列函数中以T为周期的函数是（ ）。A. int_(-x)^0 f(t) , dtB. int_(0)^x f(t) , dt - int_(-x)^0 f(t) , dtC. int_(0)^x f(t) , dt + int_(-x)^0 f(t) , dtD. int_(0)^x f(t) , dt

$f(x)$ 是以T为周期的函数，下列函数中以T为周期的函数是（ ）。

A. $\int_{-x}^{0} f(t) \, dt$

B. $\int_{0}^{x} f(t) \, dt - \int_{-x}^{0} f(t) \, dt$

C. $\int_{0}^{x} f(t) \, dt + \int_{-x}^{0} f(t) \, dt$

D. $\int_{0}^{x} f(t) \, dt$

题目解答

答案

B. $\int_{0}^{x} f(t) \, dt - \int_{-x}^{0} f(t) \, dt$

解析

本题考查函数周期性的判断以及定积分的性质。解题的关键思路是根据函数$f(x)$的周期性$f(x + T) = f(x)$，对每个选项中的函数进行变形，判断其是否满足$F(x + T) = F(x)$，若满足则该函数以$T$为周期。

选项A

设$F(x)=\int_{-x}^{0} f(t) \, dt$，则$F(x + T)=\int_{-(x + T)}^{0} f(t) \, dt$。
令$u=t+T$，则$dt = du$。当$t=-(x + T)$时，$u=-x$；当$t = 0$时，$u = T$。
所以$F(x + T)=\int_{-x}^{T} f(u - T) \, du$，因为$f(x)$以$T$为周期，即$f(u - T)=f(u)$，则$F(x + T)=\int_{-x}^{T} f(u) \, du=\int_{-x}^{0} f(u) \, du+\int_{0}^{T} f(u) \, du$。
一般情况下$\int_{0}^{T} f(u) \, du\neq0$，所以$F(x + T)\neq F(x)$，该函数不以$T$为周期。

选项B

设$G(x)=\int_{0}^{x} f(t) \, dt - \int_{-x}^{0} f(t) \, dt$，则$G(x + T)=\int_{0}^{x + T} f(t) \, dt - \int_{-(x + T)}^{0} f(t) \, dt$。

  • 对于$\int_{0}^{x + T} f(t) \, dt$，令$u=t$，则$\int_{0}^{x + T} f(t) \, dt=\int_{0}^{x} f(t) \, dt+\int_{x}^{x + T} f(t) \, dt$，因为$f(x)$以$T$为周期，所以$\int_{x}^{x + T} f(t) \, dt=\int_{0}^{T} f(t) \, dt$。
  • 对于$\int_{-(x + T)}^{0} f(t) \, dt$，令$u=t+T$，则$dt = du$。当$t=-(x + T)$时，$u=-x$；当$t = 0$时，$u = T$。所以$\int_{-(x + T)}^{0} f(t) \, dt=\int_{-x}^{T} f(u - T) \, du=\int_{-x}^{T} f(u) \, du=\int_{-x}^{0} f(u) \, du+\int_{0}^{T} f(u) \, du$。

则$G(x + T)=\int_{0}^{x} f(t) \, dt+\int_{0}^{T} f(t) \, dt-(\int_{-x}^{0} f(t) \, dt+\int_{0}^{T} f(t) \, dt)=\int_{0}^{x} f(t) \, dt - \int_{-x}^{0} f(t) \, dt=G(x)$，所以该函数以$T$为周期。

选项C

设$H(x)=\int_{0}^{x} f(t) \, dt + \int_{-x}^{0} f(t) \, dt$，则$H(x + T)=\int_{0}^{x + T} f(t) \, dt + \int_{-(x + T)}^{0} f(t) \, dt$。

  • 由前面分析可知$\int_{0}^{x + T} f(t) \, dt=\int_{0}^{x} f(t) \, dt+\int_{0}^{T} f(t) \, dt$。
  • $\int_{-(x + T)}^{0} f(t) \, dt=\int_{-x}^{0} f(t) \, dt+\int_{0}^{T} f(t) \, dt$。

则$H(x + T)=\int_{0}^{x} f(t) \, dt+\int_{0}^{T} f(t) \, dt+\int_{-x}^{0} f(t) \, dt+\int_{0}^{T} f(t) \, dt=\int_{0}^{x} f(t) \, dt + \int_{-x}^{0} f(t) \, dt+2\int_{0}^{T} f(t) \, dt$。
一般情况下$2\int_{0}^{T} f(t) \, dt\neq0$，所以$H(x + T)\neq H(x)$，该函数不以$T$为周期。

选项D

设$I(x)=\int_{0}^{x} f(t) \, dt$，则$I(x + T)=\int_{0}^{x + T} f(t) \, dt=\int_{0}^{x} f(t) \, dt+\int_{x}^{x + T} f(t) \, dt$，因为$f(x)$以$T$为周期，所以$\int_{x}^{x + T} f(t) \, dt=\int_{0}^{T} f(t) \, dt$。
一般情况下$\int_{0}^{T} f(t) \, dt\neq0$，所以$I(x + T)\neq I(x)$，该函数不以$T$为周期。