5.3.1 设函数f(x)在[0,1]上连续，且f(1)=1，证明：对于任意λ∈(0,1)，存在ξ∈(0,1)，使f(xi)=(lambda)/(xi^2)

本题考查函数的连续性以及介值定理的应用。解题的关键思路是构造一个合适的辅助函数，利用函数的连续性和极限性质，结合介值定理来证明存在满足条件的 $\xi$。

1. 构造辅助函数：
   定义函数 $g(x) = f(x) - \frac{\lambda}{x^2}$，其中 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f(1) = 1$。
2. 分析辅助函数的连续性：
   因为 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，而函数 $y = \frac{\lambda}{x^2}$ 在 $(0,1]$ 上连续，两个连续函数的差仍然是连续函数，所以 $g(x)$ 在 $(0,1]$ 上连续。
3. 计算辅助函数在端点的值：
   将 $x = 1$ 代入 $g(x)$ 可得：
   $g(1) = f(1) - \lambda$
   已知 $f(1) = 1$，且 $\lambda \in (0,1)$，所以 $g(1) = 1 - \lambda > 0$。
4. 分析辅助函数在 $x \to 0^+$ 时的极限：
   当 $x \to 0^+$ 时，对于函数 $y = \frac{\lambda}{x^2}$，因为 $\lambda > 0$，分母 $x^2$ 趋近于 $0$ 且为正，所以 $\frac{\lambda}{x^2} \to +\infty$。
   又因为 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，所以 $f(x)$ 是有限值，那么 $g(x) = f(x) - \frac{\lambda}{x^2} \to -\infty$。
5. 应用介值定理：
   由于 $g(x)$ 在 $(0,1]$ 上连续，且 $g(1) > 0$，当 $x \to 0^+$ 时 $g(x) \to -\infty$，这意味着在区间 $(0,1)$ 内必然存在一点 $\xi$，使得 $g(\xi) = 0$。
   即 $f(\xi) - \frac{\lambda}{\xi^2} = 0$，移项可得 $f(\xi) = \frac{\lambda}{\xi^2}$。