5.设总体Xsim N(mu,sigma^2)，sigma^2未知，设总体均值mu的置信度1-a的置信区间长度l，那么l与a的关系为【】.A. a增大，l增大B. a增大，l减小C. a增大，l不变D. a与l关系不确定

考查要点：本题主要考查置信区间长度与置信度的关系，涉及t分布的应用及临界值的变化规律。

解题核心思路：
当总体方差未知时，构造均值置信区间需使用t分布。置信区间长度与t分布的临界值直接相关。临界值大小随置信度变化，进而影响区间长度。关键在于理解置信度变化如何导致临界值变化，最终推导出区间长度的变化趋势。

破题关键点：

• t临界值与置信度的关系：置信度越高（α越小），t临界值越大，区间长度越长；反之，置信度越低（α越大），t临界值越小，区间长度越短。

当总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 且 $\sigma^2$ 未知时，总体均值 $\mu$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的置信区间公式为：
$\bar{X} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}$
其中：

• $\bar{X}$ 是样本均值，$S$ 是样本标准差，$n$ 是样本容量。
• $t_{\alpha/2}(n-1)$ 是自由度为 $n-1$ 的 t 分布的上 $\alpha/2$ 分位数。

置信区间长度 $l$ 为：
$l = 2 \cdot t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}$

关键分析：

1. t临界值随 $\alpha$ 的变化规律：
   • 当 $\alpha$ 增大时，$\alpha/2$ 增大，对应的 t 分布临界值 $t_{\alpha/2}(n-1)$ 减小（因为需要覆盖的概率减小）。
2. 区间长度与 t临界值的关系：
   • $l$ 与 $t_{\alpha/2}(n-1)$ 成正比，因此当 $\alpha$ 增大时，$t_{\alpha/2}(n-1)$ 减小，导致 $l$ 减小。

结论：$\alpha$ 增大，置信区间长度 $l$ 减小，正确答案为 B。