计算题（共5题，100.0分）4. (20.0分) 某企业规定某产品的一级品率为80%，今从某日生产的产品中随机抽取100件进行检验，测得其中70件为一级品。在显著性水平0.05之下，检验该厂产品的一级品率是否偏低? 【图片】

本题考查的是总体比例的假设检验知识。解题思路是先根据题目要求提出原假设和备择假设，确定显著性水平，接着计算样本的相关统计量，再根据假设检验的类型确定临界值，最后将计算得到的检验统计量与临界值进行比较，从而判断是否拒绝原假设，得出结论。

1. 提出假设：
   • 零假设 $H_0$：一级品率 $p = 0.80$，这是我们想要去检验是否成立的假设。
   • 备择假设 $H_1$：一级品率 $p < 0.80$，这是我们怀疑可能成立的假设，因为题目是要检验一级品率是否偏低。
2. 确定显著性水平：
   • 题目中明确给出显著性水平 $\alpha = 0.05$，它表示我们在进行假设检验时，愿意承担的犯第一类错误（即拒绝了实际上成立的原假设）的概率。
3. 计算检验统计量：
   • 已知样本大小 $n = 100$，样本中一级品的数量 $X = 70$。
   • 样本一级品率 $\hat{p} = \frac{X}{n} = \frac{70}{100} = 0.70$。
   • 检验统计量 $Z$ 的计算公式为 $Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1 - p_0)}{n}}}$，其中 $p_0 = 0.80$ 是原假设中的总体比例。
   • 代入数值进行计算：
     $\begin{align*}Z&=\frac{0.70 - 0.80}{\sqrt{\frac{0.80 \times 0.20}{100}}}\\&=\frac{-0.10}{\sqrt{0.16/100}}\\&=\frac{-0.10}{0.04}\\&= -2.5\end{align*}$
4. 确定临界值：
   • 由于是单侧检验（左侧），因为备择假设是 $p < 0.80$，所以我们关注的是分布的左侧尾部。
   • 在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下，通过查标准正态分布表可知临界值 $Z_{\alpha}$ 为 $-1.645$。
5. 比较检验统计量与临界值：
   • 检验统计量 $Z = -2.5$，临界值 $Z_{\alpha} = -1.645$。
   • 因为 $Z = -2.5 < -1.645$，这意味着检验统计量落在了拒绝域内，所以我们拒绝零假设 $H_0$。
6. 结论：
   • 在显著性水平 $0.05$ 之下，拒绝原假设 $H_0$，接受备择假设 $H_1$，检验结果表明该厂产品的一级品率偏低。