题目

某服务台在长度为t的时间间隔内收到呼叫的次数X服从参数为t的泊松分布，时间t（单位：min），与间隔的起点无关，若服务员离开就有可能影响工作，求因服务员离开影响工作的概率.（1）离开1min；（2）离开3min；（3）离开5min.

某服务台在长度为t的时间间隔内收到呼叫的次数X服从参数为t的泊松分布，时间t（单位：min），与间隔的起点无关，若服务员离开就有可能影响工作，求因服务员离开影响工作的概率.

（1）离开1min；（2）离开3min；（3）离开5min.

题目解答

答案

（1）在长度为1min内收到呼叫的次数X服从参数为 $λ=1$ 的泊松分布，则X的分布律为 $P\left(X=k\right)=\frac{1^k}{k!}e^{-1},k=0,1,\cdots$ ，则影响工作即呼叫次数X至少为1次，则影响工作的概率为 $P\left(X\ge1\right)=1-P\left(X=0\right)=1-\frac{1^0}{0!}e^{-1}=1-e^{-1}$ ；（2）在长度为3min内收到呼叫的次数X服从参数为 $λ=3$ 的泊松分布，则X的分布律为 $P\left(X=k\right)=\frac{3^k}{k!}e^{-3},k=0,1,\cdots$ ，则影响工作即呼叫次数X至少为1次，则影响工作的概率为 $P\left(X\ge1\right)=1-P\left(X=0\right)=1-\frac{3^0}{0!}e^{-3}=1-e^{-3}$ ；（3）在长度为5min内收到呼叫的次数X服从参数为 $λ=5$ 的泊松分布，则X的分布律为 $P\left(X=k\right)=\frac{5^k}{k!}e^{-5},k=0,1,\cdots$ ，则影响工作即呼叫次数X至少为1次，则影响工作的概率为 $P\left(X\ge1\right)=1-P\left(X=0\right)=1-\frac{5^0}{0!}e^{-5}=1-e^{-5}$ .

解析

步骤 1：定义泊松分布
在长度为t的时间间隔内收到呼叫的次数X服从参数为t的泊松分布，其概率质量函数为$P(X=k)=\dfrac {{t}^{k}}{k!}{e}^{-t}$，其中k=0,1,2,...，t为时间间隔长度。

步骤 2：计算影响工作的概率
影响工作即呼叫次数X至少为1次，因此影响工作的概率为$P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)$。根据泊松分布的概率质量函数，$P(X=0)=\dfrac {{t}^{0}}{0!}{e}^{-t}={e}^{-t}$。

步骤 3：计算不同时间间隔的影响工作概率
（1）当t=1min时，影响工作的概率为$P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)=1-{e}^{-1}$。
（2）当t=3min时，影响工作的概率为$P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)=1-{e}^{-3}$。
（3）当t=5min时，影响工作的概率为$P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)=1-{e}^{-5}$。