题目
已知总体 X sim N(mu, sigma^2)，mu, sigma 均未知，样本容量为 n，样本均值和方差分别为 overline(x), S^2，则 sigma^2 的 1-alpha 置信区间() A. (((n-1)S^2)/(chi^2_(1-frac{alpha){2)}(n)}, ((n-1)S^2)/(chi^2_(frac{alpha){2)}(n)} )B. (((n-1)S^2)/(chi^2_(frac{alpha){2)}(n)}, ((n-1)S^2)/(chi^2_(1-frac{alpha){2)}(n)} )C. (((n-1)S^2)/(chi^2_(1-frac{alpha){2)}(n-1)}, ((n-1)S^2)/(chi^2_(frac{alpha){2)}(n-1)} )D. (((n-1)S^2)/(chi^2_(frac{alpha){2)}(n-1)}, ((n-1)S^2)/(chi^2_(1-frac{alpha){2)}(n-1)} )
已知总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\mu, \sigma$ 均未知，样本容量为 $n$，样本均值和方差分别为 $\overline{x}$, $S^2$，则 $\sigma^2$ 的 $1-\alpha$ 置信区间()
- A. $\left(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n)}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n)} \right)$
- B. $\left(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n)}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n)} \right)$
- C. $\left(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)} \right)$
- D. $\left(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)} \right)$
题目解答
答案
已知总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本容量为 $n$，样本方差为 $S^2$。统计量 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布。
构造 $\sigma^2$ 的 $1-\alpha$ 置信区间，需满足：
\[ P\left(\chi^2_{\alpha/2}(n-1) < \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} < \chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)\right) = 1 - \alpha \]
解得：
\[ \left(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)}\right) \]
对应选项 D，其中 $\chi^2_{\alpha/2}(n-1)$ 和 $\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)$ 分别为上、下尾分位数。
答案：$\boxed{D}$
解析
步骤 1：确定统计量
已知总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本容量为 $n$，样本方差为 $S^2$。统计量 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布。
步骤 2：构造置信区间
构造 $\sigma^2$ 的 $1-\alpha$ 置信区间，需满足： \[ P\left(\chi^2_{\alpha/2}(n-1) < \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} < \chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)\right) = 1 - \alpha \]
步骤 3：解不等式
解得： \[ \left(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)}\right) \]
已知总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本容量为 $n$，样本方差为 $S^2$。统计量 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布。
步骤 2：构造置信区间
构造 $\sigma^2$ 的 $1-\alpha$ 置信区间，需满足： \[ P\left(\chi^2_{\alpha/2}(n-1) < \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} < \chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)\right) = 1 - \alpha \]
步骤 3：解不等式
解得： \[ \left(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)}\right) \]