题目

若随机变量X~N(2,3),Y~N(4,1),且X与Y相互独立，则2X+3~underline(N~)( );

若随机变量X~N(2,3),Y~N(4,1),且X与Y相互独立，则2X+3~$\underline{N~}$( );

题目解答

答案

为了确定随机变量 $2X + 3$ 的分布，我们需要使用正态分布的性质。具体来说，如果 $X$ 是一个正态随机变量，那么 $aX + b$ 也是一个正态随机变量，其中 $a$ 和 $b$ 是常数。正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 的均值和方差的变换规则如下： 1. $aX + b$ 的均值是 $a\mu + b$。 2. $aX + b$ 的方差是 $a^2\sigma^2$。 已知 $X \sim N(2, 3)$，我们有 $\mu = 2$ 和 $\sigma^2 = 3$。对于随机变量 $2X + 3$，我们有 $a = 2$ 和 $b = 3$。因此，我们可以计算 $2X + 3$ 的均值和方差如下： 1. $2X + 3$ 的均值是 $2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7$。 2. $2X + 3$ 的方差是 $2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$。 因此，随机变量 $2X + 3$ 服从均值为 7 和方差为 12 的正态分布，即 $2X + 3 \sim N(7, 12)$。 由于题目中还提到了 $Y \sim N(4, 1)$ 且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，但 $Y$ 并没有出现在表达式 $2X + 3$ 中，所以 $Y$ 对 $2X + 3$ 的分布没有影响。 最终答案是 $\boxed{N(7, 12)}$。

解析

考查要点：本题主要考查正态分布的线性变换性质，即对正态随机变量进行线性组合后的分布参数（均值和方差）的计算。

解题核心思路：

  1. 正态分布的封闭性：若随机变量 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则线性变换 $aX + b$ 仍服从正态分布，其均值和方差分别为 $a\mu + b$ 和 $a^2\sigma^2$。
  2. 独立变量的无关性：题目中虽然提到 $Y$，但表达式 $2X + 3$ 未涉及 $Y$，因此 $Y$ 的信息是干扰项，无需考虑。

破题关键点：

  • 正确应用线性变换公式，避免混淆均值和方差的计算规则（均值为线性变换，方差为平方关系）。
  • 排除无关信息干扰，明确题目要求的表达式仅涉及 $X$。

已知 $X \sim N(2, 3)$，即 $X$ 的均值 $\mu_X = 2$，方差 $\sigma_X^2 = 3$。
对 $2X + 3$ 进行线性变换：

  1. 计算新均值：
    $\text{均值} = 2 \cdot \mu_X + 3 = 2 \cdot 2 + 3 = 7$
  2. 计算新方差：
    $\text{方差} = 2^2 \cdot \sigma_X^2 = 4 \cdot 3 = 12$
    因此，$2X + 3$ 服从正态分布 $N(7, 12)$。