12.判断题设A，B，C为样本空间中的随机事件，则Acup(Bcap C)=(Acup B)cap(Acup C).( )A. 对B. 错

本题考查集合的运算律，解题思路是通过证明两个集合相互包含来证明两个集合相等。

证明 $A\cup(B\cap C)\subseteq(A\cup B)\cap(A\cup C)$

设 $x\in A\cup(B\cap C)$，根据并集的定义可知，$x$ 满足 $x\in A$ 或者 $x\in B\cap C$。

• 情况一：若 $x\in A$
  因为 $x\in A$，根据并集的性质，那么 $x\in A\cup B$ 且 $x\in A\cup C$。
  再根据交集的定义，由于 $x$ 同时属于 $A\cup B$ 和 $A\cup C$，所以 $x\in(A\cup B)\cap(A\cup C)$。
• 情况二：若 $x\in B\cap C$
  根据交集的定义，$x\in B\cap C$ 意味着 $x\in B$ 且 $x\in C$。
  因为 $x\in B$，所以 $x\in A\cup B$；又因为 $x\in C$，所以 $x\in A\cup C$。
  同样根据交集的定义，由于 $x$ 同时属于 $A\cup B$ 和 $A\cup C$，所以 $x\in(A\cup B)\cap(A\cup C)$。

综上，对于任意 $x\in A\cup(B\cap C)$，都有 $x\in(A\cup B)\cap(A\cup C)$，所以 $A\cup(B\cap C)\subseteq(A\cup B)\cap(A\cup C)$。

证明 $(A\cup B)\cap(A\cup C)\subseteq A\cup(B\cap C)$

设 $y\in(A\cup B)\cap(A\cup C)$，根据交集的定义可知，$y$ 满足 $y\in A\cup B$ 且 $y\in A\cup C$。

• 情况一：若 $y\in A$
  因为 $y\in A$，根据并集的定义，那么 $y\in A\cup(B\cap C)$。
• 情况二：若 $y\notin A$
  由于 $y\in A\cup B$ 且 $y\notin A$，根据并集的定义可知 $y\in B$；同理，因为 $y\in A\cup C$ 且 $y\notin A$，所以 $y\in C$。
  根据交集的定义，因为 $y\in B$ 且 $y\in C$，所以 $y\in B\cap C$。
  再根据并集的定义，由于 $y\in B\cap C$，所以 $y\in A\cup(B\cap C)$。

综上，对于任意 $y\in(A\cup B)\cap(A\cup C)$，都有 $y\in A\cup(B\cap C)$，所以 $(A\cup B)\cap(A\cup C)\subseteq A\cup(B\cap C)$。

因为 $A\cup(B\cap C)\subseteq(A\cup B)\cap(A\cup C)$ 且 $(A\cup B)\cap(A\cup C)\subseteq A\cup(B\cap C)$，所以 $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$，该判断题的说法是正确的。