题目
设随机变量X和Y独立，且X sim N(0,1)，Y sim N(0,1)，则X + Y的分布为(）.A. N(0,1)B. N(1,1)C. N(1,2)D. N(0,2)
设随机变量X和Y独立，且$X \sim N(0,1)$，$Y \sim N(0,1)$，则$X + Y$的分布为(）.
A. $N(0,1)$
B. $N(1,1)$
C. $N(1,2)$
D. $N(0,2)$
题目解答
答案
D. $N(0,2)$
解析
步骤 1：理解随机变量的独立性
随机变量X和Y独立，意味着它们的联合概率分布等于它们各自概率分布的乘积。即$P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$。
步骤 2：理解正态分布的性质
$X \sim N(0,1)$表示X服从均值为0，方差为1的正态分布。$Y \sim N(0,1)$表示Y服从均值为0，方差为1的正态分布。
步骤 3：计算$X + Y$的分布
当两个独立的正态分布随机变量相加时，它们的和也服从正态分布。具体来说，如果$X \sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$，$Y \sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$，则$X + Y \sim N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$。因此，$X + Y$的均值为$0 + 0 = 0$，方差为$1 + 1 = 2$。
随机变量X和Y独立，意味着它们的联合概率分布等于它们各自概率分布的乘积。即$P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$。
步骤 2：理解正态分布的性质
$X \sim N(0,1)$表示X服从均值为0，方差为1的正态分布。$Y \sim N(0,1)$表示Y服从均值为0，方差为1的正态分布。
步骤 3：计算$X + Y$的分布
当两个独立的正态分布随机变量相加时，它们的和也服从正态分布。具体来说，如果$X \sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$，$Y \sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$，则$X + Y \sim N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$。因此，$X + Y$的均值为$0 + 0 = 0$，方差为$1 + 1 = 2$。