19.某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X=1的概率及X的数学期望；(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案：如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100%，乙校学生选择正确的概率为85%.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为p₁，p₂，判断p₁与p₂的大小(结论不要求证明).

为了解决这个问题，我们将分步骤进行。 ### 第一步：估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 $ p_1 $ 甲校学生选择正确的人数为80，总学生数为100。因此，甲校高一年级学生该题选择正确的概率 $ p_1 $ 的估计值为： \[ p_1 = \frac{80}{100} = 0.8 \] ### 第二步：估计乙校高一年级学生该题选择正确的概率 $ p_2 $ 乙校学生选择正确的人数为75，总学生数为100。因此，乙校高一年级学生该题选择正确的概率 $ p_2 $ 的估计值为： \[ p_2 = \frac{75}{100} = 0.75 \] ### 第三步：估计 $ X = 1 $ 的概率 设 $ X $ 为从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名时，该题选择正确的人数。 $ X $ 可以取值0，1，或2。我们需要找到 $ P(X = 1) $。 $ X = 1 $ 有以下两种情况： 1. 甲校学生选择正确，乙校学生选择错误。 2. 甲校学生选择错误，乙校学生选择正确。 第一种情况的概率为： \[ p_1 \cdot (1 - p_2) = 0.8 \cdot (1 - 0.75) = 0.8 \cdot 0.25 = 0.2 \] 第二种情况的概率为： \[ (1 - p_1) \cdot p_2 = (1 - 0.8) \cdot 0.75 = 0.2 \cdot 0.75 = 0.15 \] 因此， $ X = 1 $ 的总概率为： \[ P(X = 1) = 0.2 + 0.15 = 0.35 \] ### 第四步：估计 $ X $ 的数学期望 $ X $ 的数学期望 $ E(X) $ 由下式给出： \[ E(X) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) \] 首先，我们找到 $ P(X = 0) $ 和 $ P(X = 2) $： \[ P(X = 0) = (1 - p_1) \cdot (1 - p_2) = 0.2 \cdot 0.25 = 0.05 \] \[ P(X = 2) = p_1 \cdot p_2 = 0.8 \cdot 0.75 = 0.6 \] 现在，我们可以找到 $ E(X) $： \[ E(X) = 0 \cdot 0.05 + 1 \cdot 0.35 + 2 \cdot 0.6 = 0 + 0.35 + 1.2 = 1.55 \] ### 第五步：判断 $ p_1 $ 与 $ p_2 $ 的大小 如果学生没有掌握该知识点，他们选择正确的概率为 $ \frac{1}{4} = 0.25 $。如果学生掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为1，乙校学生选择正确的概率为0.85。设 $ q_1 $ 为甲校学生掌握该知识点的概率， $ q_2 $ 为乙校学生掌握该知识点的概率。那么，甲校学生选择正确的总概率为： \[ q_1 \cdot 1 + (1 - q_1) \cdot 0.25 = 0.8 \] 解 $ q_1 $： \[ q_1 + 0.25 - 0.25q_1 = 0.8 \] \[ 0.75q_1 + 0.25 = 0.8 \] \[ 0.75q_1 = 0.55 \] \[ q_1 = \frac{0.55}{0.75} = \frac{11}{15} \] 同样，乙校学生选择正确的总概率为： \[ q_2 \cdot 0.85 + (1 - q_2) \cdot 0.25 = 0.75 \] 解 $ q_2 $： \[ 0.85q_2 + 0.25 - 0.25q_2 = 0.75 \] \[ 0.6q_2 + 0.25 = 0.75 \] \[ 0.6q_2 = 0.5 \] \[ q_2 = \frac{0.5}{0.6} = \frac{5}{6} \] 由于 $ \frac{11}{15} \approx 0.7333 $ 且 $ \frac{5}{6} \approx 0.8333 $，我们有 $ p_1 < p_2 $。 ### 最终答案 1. 甲校高一年级学生该题选择正确的概率 $ p_1 $ 的估计值为 $ 0.8 $。 2. $ X = 1 $ 的概率为 $ 0.35 $， $ X $ 的数学期望为 $ 1.55 $。 3. $ p_1 $ 与 $ p_2 $ 的大小判断为 $ p_1 < p_2 $。 \[ \boxed{p_1 < p_2} \]