题目

设总体Xsim N(mu,16)，若使得mu的置信度为0.95的置信区间长度lleqslant4，则n至少取_____.(Phi(1.96)=0.975.)

设总体$X\sim N(\mu,16)$，若使得$\mu$的置信度为0.95的置信区间长度$l\leqslant4$，则n至少取_____.($\Phi(1.96)=0.975$.)

题目解答

答案

设总体 $X \sim N(\mu, 16)$，则 $\sigma = 4$。对于置信度为 0.95，$z_{0.025} = 1.96$。置信区间长度 $l$ 为： \[ l = 2z_{0.025} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2 \times 1.96 \times \frac{4}{\sqrt{n}} = \frac{15.68}{\sqrt{n}} \] 由 $l \leq 4$，得： \[ \frac{15.68}{\sqrt{n}} \leq 4 \implies \sqrt{n} \geq \frac{15.68}{4} = 3.92 \implies n \geq 3.92^2 \approx 15.3664 \] 取整数得 $n \geq 16$。 **答案：** $\boxed{16}$

解析

考查要点：本题主要考查正态总体均值的置信区间构造，以及根据置信区间长度反推最小样本量的方法。

解题核心思路：

  1. 确定置信区间长度公式：对于正态总体且方差已知的情况，置信区间长度为 $l = 2z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
  2. 代入已知条件：根据题目给出的置信度 $0.95$（对应 $z_{0.025}=1.96$）、方差 $\sigma^2=16$（即 $\sigma=4$），建立不等式 $l \leq 4$。
  3. 解不等式求最小样本量：通过代数变形求出 $n$ 的最小整数值。

破题关键点：

  • 正确选择分位数：置信度 $0.95$ 对应双侧检验，分位数为 $z_{0.025}=1.96$。
  • 公式变形与取整：注意最终结果需向上取整，确保样本量满足条件。

  1. 确定置信区间长度公式
    总体 $X \sim N(\mu, 16)$，方差 $\sigma^2=16$，故 $\sigma=4$。
    置信度为 $0.95$ 时，对应的标准正态分布分位数为 $z_{0.025}=1.96$（由 $\Phi(1.96)=0.975$ 得出）。
    置信区间长度公式为：
    $l = 2z_{0.025} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

  2. 代入已知条件
    将 $\sigma=4$ 和 $z_{0.025}=1.96$ 代入公式：
    $l = 2 \times 1.96 \times \frac{4}{\sqrt{n}} = \frac{15.68}{\sqrt{n}}$

  3. 建立不等式并求解
    要求 $l \leq 4$，即：
    $\frac{15.68}{\sqrt{n}} \leq 4$
    解得：
    $\sqrt{n} \geq \frac{15.68}{4} = 3.92$
    两边平方得：
    $n \geq 3.92^2 \approx 15.3664$
    因为样本量 $n$ 必须为整数，故取 $n=16$。