5 int_(0)^1xarcsinsqrt(4x-4x^2)dx=

考查要点：本题主要考查定积分的变量替换法和分部积分法的应用，以及对复杂被积函数的化简能力。

解题核心思路：

1. 变量替换：通过令$t = \arcsin \sqrt{4x - 4x^2}$，将原积分转化为关于$t$的三角函数积分，简化被积表达式。
2. 积分拆分：将积分拆分为两个更易处理的部分，分别应用分部积分法。
3. 分部积分：对含$t \sin t$和$t \sin 2t$的积分进行分部积分，最终求得结果。

破题关键点：

• 识别被积函数中的隐藏三角恒等式，通过变量替换将根号表达式转化为三角函数形式。
• 正确处理积分上下限和微分符号，避免计算错误。
• 灵活拆分积分项，利用三角恒等式（如$\sin 2t = 2 \sin t \cos t$）简化计算。

变量替换：
令$t = \arcsin \sqrt{4x - 4x^2}$，则$\sin t = \sqrt{4x - 4x^2}$，平方得$\sin^2 t = 4x(1 - x)$。
解得$x = \frac{1 + \cos t}{2}$，微分得$dx = -\frac{\sin t}{2} dt$。
当$x = 0$时，$t = \pi$；当$x = 1$时，$t = 0$，积分上下限交换并调整符号。

积分转换：
原积分变为：
$\begin{aligned}\int_{0}^{1} x \arcsin \sqrt{4x - 4x^2} \, dx &= \int_{\pi}^{0} \frac{1 + \cos t}{2} \cdot t \cdot \left(-\frac{\sin t}{2}\right) dt \\&= \frac{1}{4} \int_{0}^{\pi} t \sin t \, dt + \frac{1}{8} \int_{0}^{\pi} t \sin 2t \, dt.\end{aligned}$

分部积分计算：

1. 第一项：$\int_{0}^{\pi} t \sin t \, dt$
   设$u = t$，$dv = \sin t \, dt$，则$du = dt$，$v = -\cos t$，分部积分得：
   $\left[ -t \cos t \right]_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} \cos t \, dt = \pi + 0 = \pi.$

2. 第二项：$\int_{0}^{\pi} t \sin 2t \, dt$
   设$u = t$，$dv = \sin 2t \, dt$，则$du = dt$，$v = -\frac{1}{2} \cos 2t$，分部积分得：
   $\left[ -\frac{t}{2} \cos 2t \right]_{0}^{\pi} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \cos 2t \, dt = -\frac{\pi}{2}.$

合并结果：
$\frac{1}{4} \cdot \pi + \frac{1}{8} \cdot \left( -\frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{16} = \frac{3\pi}{16}.$