17.设总体X的密度为：f(x;theta)=}sqrt(theta)x^sqrt(theta)-1&0le xle 10&其他.theta>0未知，X_(1),dots,X_(n)为样本，求theta的矩估计值和最大似然估计量.若已获得n=10的样本值如下，0.43 0.01 0.30 0.04 0.540.14 0.99 0.18 0.98 0.02求theta的矩估计值和最大似然估计值.
题目解答
答案
解析
一、题目考察内容
本题主要考察矩估计法和最大似然估计法在连续型总体参数估计中的应用，具体涉及贝塔分布（或幂函数分布）的密度函数。
二、矩估计步骤解析
1. 计算总体一阶矩（均值）$E(X)$
总体密度函数为：
$f(x;\theta)=\begin{casescases}\sqrt{\theta}x^{\sqrt{\theta}-1}&0\le x\le1\\0&\text{其他}\end{cases}\quad(\theta>0)$
这是幂函数分布（贝塔分布的特例，$Beta(\sqrt{\theta},1)$），其均值公式为：
$E(X)=\int_0^1x\cdot f(x;\theta)dx=\int_0^1x\cdot\sqrt{\theta}x^{\sqrt{\theta}-1dx=\sqrt{\theta}\int_0^1x^{\sqrt{\theta}}dx$
积分计算：
$\int_0^1x^{\sqrt{\theta}}dx=\left[\frac{x^{\sqrt{\theta}+1}}{\sqrt{\theta}+1}\right]_0^1=\frac{1}{\sqrt{\theta}+1}$
故：
$E(X)=\frac{\sqrt{\theta}}{\sqrt{\theta}+1}$
2. 样本均值替换总体均值
设样本均值为$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$，令$E(X)=\overline{X}$： $\overline{X}=\frac{\sqrt{\theta}}{\sqrt{\theta}+1}$
3. 解方程得$\theta$的矩估计量
整理方程：
$\overline{X}(\sqrt{\theta}+1)=\sqrt{\theta}\implies\overline{X}+\overline{X}\sqrt{\theta}=\sqrt{\theta}\implies\overline{X}=\sqrt{\theta}(1-\overline{X})$
解得：
$\sqrt{\theta}=\frac{\overline{X}}{1-\overline{X}}\implies\hat{\theta}_\text{矩}=\left(\frac{\overline{X}}{1-\overline{X}}\right)^2$
4. 代入样本数据计算
样本值：0.43,0.01,0.30,0.04,0.54,0.14,0.99,0.18,0.98,0.02（$n=10）
计算样本均值：
$\overline{X}=\frac{1}{10}(0.43+0.01+0.30+0.04+0.54+0.14+0.99+0.18+0.98+0.02)=0.363$
代入矩估计公式：
$\hat{\theta}_\text{矩}=\left(\frac{0.363}{1-0.363}\right)^2=\left(\frac{0.363}{0.637}\right)^2\approx(0.57)^2\approx0.325$
三、最大似然估计步骤解析
1. 构造似然函数
样本$X_1,\dots,X_n$的似然函数为各密度函数的乘积： $L(\theta)=\prod_{i=1}^nf(X_i;\theta)=\prod_{i=1}^n\left[\sqrt{\sqrt{\theta}X_i^{\sqrt{\theta}-1}\right]=\theta^{n/2}\left(\prod_{i=1}^nX_i\right)^{\sqrt{\theta}-1}$
2. 取对数得对数似然函数
$\ell(\theta)=\lnL(\theta)=\frac{n}{2}\ln\theta+(\sqrt{\theta}-1)\sum_{i=1}^n\ln X_i$
3. 求导并令导数为0
对$\ell(\theta)$求导（注意$\frac{d}{d\theta}\sqrt{\theta}=\frac{1}{2\sqrt{\theta}}$）：
$\frac{d\ell}{d\theta}=\frac{n}{2\theta}+\left(\frac{1}{2\sqrt{\theta}}\right)\sum\ln X_i=0$
整理得：
$\frac{n}{2\theta}=-\frac{1}{2\sqrt{\theta}}\sum\ln X_i\implies\frac{n}{\theta}=-\frac{1}{\sqrt{\theta}}\sum\ln X_i\implies\sqrt{\theta}=-\frac{n}{\sum\ln X_i}$
4. 代入样本数据计算
计算$\sum\ln X_i$：
$\sum\ln X_i\approx\ln0.43+\ln0.01+\ln0.30+\ln0.04+\ln0.54+\ln0.14+\ln0.99+\ln0.18+\ln0.98+\ln0.02\approx-17.0911$
则：
$\sqrt{\hat{\theta}}=-\frac{10}{-17.0911}\approx0.585$
故：
$\hat{\theta}_\text{似然}=(0.585)^2\approx0.342$