8.填空题lim_(xtoinfty)(4x^2+5)/(3x+3)sin(3)/(2x)=_.第1空：
题目解答
答案
当 $x \to \infty$ 时，$\frac{3}{2x} \to 0$，利用等价无穷小替换 $\sin \frac{3}{2x} \sim \frac{3}{2x}$。原式可化为：
$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 5}{3x + 3} \cdot \frac{3}{2x}$
将分子和分母同时除以 $x$，得：
$\lim_{x \to \infty} \frac{(4x^2 + 5) \cdot \frac{3}{2x}}{3x + 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{6x + \frac{15}{2x}}{3x + 3}$
继续将分子和分母除以 $x$，得：
$\lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{2x^2}}{3 + \frac{3}{x}} = \frac{6}{3} = 2$
或者，直接使用等价无穷小代换：
$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 5}{3x + 3} \cdot \frac{3}{2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2}{3x} \cdot \frac{3}{2x} = \lim_{x \to \infty} 2 = 2$
答案： $\boxed{2}$
解析
考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是无穷小替换和分式化简的应用。
解题核心思路：
当$x \to \infty$时，$\frac{3}{2x} \to 0$，此时$\sin\frac{3}{2x}$可以用等价无穷小替换为$\frac{3}{2x}$。将原式转化为分式与代数式的乘积后，通过分子分母同除以最高次项或展开化简的方式求解极限。
破题关键点：
- 识别等价无穷小替换的条件，将$\sin\frac{3}{2x}$替换为$\frac{3}{2x}$。
- 化简分式，通过约简或展开消除无穷大的影响，得到有限值。
步骤1：应用等价无穷小替换
当$x \to \infty$时，$\frac{3}{2x} \to 0$，根据等价无穷小$\sin\theta \sim \theta$（当$\theta \to 0$），可得：
$\sin\frac{3}{2x} \sim \frac{3}{2x}.$
步骤2：代入并化简原式
原式变为：
$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 5}{3x + 3} \cdot \frac{3}{2x}.$
步骤3：展开分子和分母
将分子和分母展开：
$\frac{(4x^2 + 5) \cdot 3}{(3x + 3) \cdot 2x} = \frac{12x^2 + 15}{6x^2 + 6x}.$
步骤4：分子分母同除以$x^2$
$\lim_{x \to \infty} \frac{12 + \frac{15}{x^2}}{6 + \frac{6}{x}} = \frac{12 + 0}{6 + 0} = 2.$