题目
练习 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，证明当m>n，必有行列式|AB|=0.
练习 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，证明当m>n，必有行列式|AB|=0.
题目解答
答案
设 $ A $ 为 $ m \times n $ 矩阵，$ B $ 为 $ n \times m $ 矩阵，且 $ m > n $。则 $ AB $ 为 $ m \times m $ 矩阵。
由秩的性质，有
\[
\text{rank}(AB) \leq \min(\text{rank}(A), \text{rank}(B)) \leq n < m
\]
即 $ AB $ 的秩小于其阶数 $ m $，故 $ AB $ 非满秩。
而方阵行列式为零当且仅当非满秩，因此
\[
|AB| = 0
\]
**结论：**
当 $ m > n $ 时，必有行列式 $ |AB| = 0 $。
\[
\boxed{|AB| = 0}
\]
解析
考查要点：本题主要考查矩阵乘积的秩性质与行列式的关系，以及非满秩矩阵行列式的性质。
解题核心思路：
- 矩阵乘积的秩性质：乘积矩阵的秩不超过任一因子矩阵的秩，即 $\text{rank}(AB) \leq \min(\text{rank}(A), \text{rank}(B))$。
- 秩与行列式的关系：方阵行列式非零的充要条件是矩阵满秩（秩等于阶数）。若矩阵非满秩，则行列式必为零。
- 关键推导：当 $m > n$ 时，$A$ 和 $B$ 的秩均不超过 $n$，从而 $AB$ 的秩小于其阶数 $m$，导致 $|AB|=0$。
步骤1：分析矩阵乘积的秩
- $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，其秩 $\text{rank}(A) \leq n$；
- $B$ 是 $n \times m$ 矩阵，其秩 $\text{rank}(B) \leq n$；
- 根据秩的性质，乘积矩阵 $AB$ 的秩满足：
$\text{rank}(AB) \leq \min(\text{rank}(A), \text{rank}(B)) \leq n.$
步骤2：比较秩与阶数
- $AB$ 是 $m \times m$ 方阵，其阶数为 $m$；
- 由于 $m > n$，可得 $\text{rank}(AB) \leq n < m$，即 $AB$ 的秩小于其阶数 $m$。
步骤3：行列式的性质
- 非满秩方阵的行列式必为零，因此 $|AB| = 0$。