题目
若xi sim N(mu ,(sigma )^2)，则由切贝谢夫不等式估计xi sim N(mu ,(sigma )^2)最多为（）A.xi sim N(mu ,(sigma )^2)B.xi sim N(mu ,(sigma )^2)C.xi sim N(mu ,(sigma )^2)D.xi sim N(mu ,(sigma )^2)
若
，则由切贝谢夫不等式估计
最多为（）
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
表示ξ服从参数为
的正态分布，则
，则由切贝谢夫不等式可得
，因此选择D。
解析
步骤 1：理解切贝谢夫不等式
切贝谢夫不等式指出，对于任意随机变量X，其期望值为E(X)，方差为D(X)，对于任意正数k，有$P(|X-E(X)|\geqslant k)\leqslant \dfrac {D(X)}{{k}^{2}}$。此不等式给出了随机变量偏离其期望值的概率上限。
步骤 2：应用切贝谢夫不等式
由于$\xi \sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$，则$E(\xi )=\mu $，$D(\xi )={\sigma }^{2}$。根据切贝谢夫不等式，$P(|\xi -\mu |\geqslant 40)\leqslant \dfrac {D(\xi )}{{40}^{2}}=\dfrac {{\sigma }^{2}}{{40}^{2}}$。
步骤 3：计算概率上限
由于题目中没有给出$\sigma$的具体值，我们只能根据切贝谢夫不等式给出概率的上限。因此，$P(|\xi -\mu |\geqslant 40)\leqslant \dfrac {{\sigma }^{2}}{{40}^{2}}$。由于$\sigma$是正数，$\dfrac {{\sigma }^{2}}{{40}^{2}}$的值取决于$\sigma$的大小，但无论如何，它总是小于或等于1。因此，根据选项，我们选择最接近的上限值。
切贝谢夫不等式指出，对于任意随机变量X，其期望值为E(X)，方差为D(X)，对于任意正数k，有$P(|X-E(X)|\geqslant k)\leqslant \dfrac {D(X)}{{k}^{2}}$。此不等式给出了随机变量偏离其期望值的概率上限。
步骤 2：应用切贝谢夫不等式
由于$\xi \sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$，则$E(\xi )=\mu $，$D(\xi )={\sigma }^{2}$。根据切贝谢夫不等式，$P(|\xi -\mu |\geqslant 40)\leqslant \dfrac {D(\xi )}{{40}^{2}}=\dfrac {{\sigma }^{2}}{{40}^{2}}$。
步骤 3：计算概率上限
由于题目中没有给出$\sigma$的具体值，我们只能根据切贝谢夫不等式给出概率的上限。因此，$P(|\xi -\mu |\geqslant 40)\leqslant \dfrac {{\sigma }^{2}}{{40}^{2}}$。由于$\sigma$是正数，$\dfrac {{\sigma }^{2}}{{40}^{2}}$的值取决于$\sigma$的大小，但无论如何，它总是小于或等于1。因此，根据选项，我们选择最接近的上限值。