证明: lim _(xarrow 1)dfrac ({x)^2-1}(x-1)=2 -

考查要点：本题主要考查极限的ε-δ定义的应用，以及代数表达式的化简能力。关键在于通过化简表达式，找到合适的δ与ε的关系，从而严格证明极限值。

解题核心思路：

1. 化简表达式：将分式$\dfrac{x^2-1}{x-1}$约分，转化为更简单的形式。
2. 应用极限定义：通过分析$|\dfrac{x^2-1}{x-1} - 2|$的表达式，找到与$|x-1|$的关系，从而确定δ的选择。

破题关键点：

• 分子因式分解：利用$x^2-1=(x-1)(x+1)$简化分式。
• 建立δ与ε的关系：通过不等式变形，直接关联$|x-1|$与ε，得出δ的取值。

步骤1：化简分式
原式$\dfrac{x^2-1}{x-1}$可分解为：
$\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1 \quad (x \neq 1)$

步骤2：构造不等式
根据极限定义，需证明：
$\left| \dfrac{x^2-1}{x-1} - 2 \right| < \varepsilon \quad \text{当} \ 0 < |x-1| < \delta$
代入化简后的表达式：
$\left| (x+1) - 2 \right| = |x-1|$

步骤3：确定δ的取值
要求$|x-1| < \varepsilon$，只需直接取$\delta = \varepsilon$。此时，当$0 < |x-1| < \delta$时，必然有$|x-1| < \varepsilon$，满足条件。