4.判断题(10分)设hat(theta)是参数theta的无偏估计量，则hat(theta)^2也是theta^2的无偏估计量。()A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查无偏估计量的性质，以及如何判断一个统计量是否为某个参数的无偏估计量。

解题核心思路：

1. 无偏估计量的定义：估计量的期望等于参数本身，即$E[\hat{\theta}] = \theta$。
2. 计算$\hat{\theta}^2$的期望：利用方差与期望的关系，即$E[\hat{\theta}^2] = \text{Var}(\hat{\theta}) + (E[\hat{\theta}])^2$。
3. 分析方差的影响：若$\text{Var}(\hat{\theta}) > 0$，则$E[\hat{\theta}^2] > \theta^2$，说明$\hat{\theta}^2$不是$\theta^2$的无偏估计量。

破题关键点：

• 明确无偏性的传递性：平方操作会引入方差项，导致期望值偏大，除非方差为零（几乎不成立）。

步骤1：写出无偏估计量的定义
已知$\hat{\theta}$是$\theta$的无偏估计量，即：
$E[\hat{\theta}] = \theta.$

步骤2：计算$\hat{\theta}^2$的期望
根据方差的定义，$\text{Var}(\hat{\theta}) = E[\hat{\theta}^2] - (E[\hat{\theta}])^2$，变形得：
$E[\hat{\theta}^2] = \text{Var}(\hat{\theta}) + (E[\hat{\theta}])^2.$

步骤3：代入已知条件
由于$E[\hat{\theta}] = \theta$，代入上式得：
$E[\hat{\theta}^2] = \text{Var}(\hat{\theta}) + \theta^2.$

步骤4：分析方差的影响

• 方差非负：$\text{Var}(\hat{\theta}) \geq 0$。
• 无偏性成立的条件：只有当$\text{Var}(\hat{\theta}) = 0$时，$E[\hat{\theta}^2] = \theta^2$。
• 实际情况：大多数估计量的方差$\text{Var}(\hat{\theta}) > 0$，因此$E[\hat{\theta}^2] > \theta^2$，说明$\hat{\theta}^2$不是$\theta^2$的无偏估计量。