题目
将一束波长= 589 nm (1 nm = 10-9 m)的平行钠光垂直入射在1 厘米内有5000条刻痕的平面衍射光栅上,光栅的透光缝宽度a与其间距b相等,求:(1) 光线垂直入射时,能看到几条谱线?是哪几级?(2) 若光线以与光栅平面法线的夹角 = 30°的方向入射时,能看到几条谱线?是哪几级?
将一束波长= 589 nm (1 nm = 10-9 m)的平行钠光垂直入射在1 厘米内有5000条刻痕的平面衍射光栅上,光栅的透光缝宽度a与其间距b相等,求:
(1) 光线垂直入射时,能看到几条谱线?是哪几级?
(2) 若光线以与光栅平面法线的夹角 = 30°的方向入射时,能看到几条谱线?是哪几级?
题目解答
答案
解:
(1)
,当
时,
又因为
, 
有谱线
但当k=±2,±4,± 6……时缺级,
所以只能看到5级谱线,为0,±,1,±3级
(2) 
因为a=b,所以,第2,4,…缺级
所以只能看5条谱线,为+5,+3,+1,0,-1级
解析
步骤 1：确定光栅常数
光栅常数 $d = a + b$，其中 $a$ 是透光缝宽度，$b$ 是透光缝间距。题目中给出光栅的透光缝宽度 $a$ 与其间距 $b$ 相等，因此 $d = 2a$。光栅的刻痕数为5000条，长度为1厘米，所以光栅常数 $d = \frac{10^{-2} \text{m}}{5000} = 2 \times 10^{-6} \text{m}$。
步骤 2：计算最大可见级数
光线垂直入射时，衍射光栅的衍射公式为 $(a+b)\sin \phi = k\lambda$，其中 $\phi$ 是衍射角，$k$ 是级数，$\lambda$ 是波长。当 $\phi = 90^\circ$ 时，$\sin \phi = 1$，此时 $k$ 取最大值。因此，$k_{max} = \frac{(a+b)}{\lambda} = \frac{2a}{\lambda} = \frac{2 \times 10^{-6} \text{m}}{589 \times 10^{-9} \text{m}} = 3.39$。取整数部分，$k_{max} = 3$。
步骤 3：确定可见谱线
由于 $a = b$，所以 $(a+b)\sin \phi = 2a\sin \phi = ka$，即 $a\sin \phi = k\lambda/2$。当 $k$ 为偶数时，会出现缺级现象。因此，能看到的谱线为 $k = 0, \pm 1, \pm 3$，共5条谱线。
步骤 4：计算斜入射时的最大可见级数
光线以与光栅平面法线的夹角 $\theta = 30^\circ$ 的方向入射时，衍射光栅的衍射公式为 $(a+b)(\sin \phi + \sin \theta) = kh$。当 $\phi = 90^\circ$ 时，$\sin \phi = 1$，此时 $k$ 取最大值。因此，$k_{max} = \frac{(a+b)(\sin 30^\circ + \sin 90^\circ)}{\lambda} = \frac{2a(0.5 + 1)}{\lambda} = 5.09$。取整数部分，$k_{max} = 5$。当 $\phi = -90^\circ$ 时，$\sin \phi = -1$，此时 $k$ 取最小值。因此，$k_{min} = \frac{(a+b)(\sin 30^\circ - \sin 90^\circ)}{\lambda} = \frac{2a(0.5 - 1)}{\lambda} = -1.7$。取整数部分，$k_{min} = -1$。
步骤 5：确定可见谱线
由于 $a = b$，所以 $(a+b)(\sin \phi + \sin \theta) = 2a(\sin \phi + \sin \theta) = ka$，即 $a(\sin \phi + \sin \theta) = k\lambda/2$。当 $k$ 为偶数时，会出现缺级现象。因此，能看到的谱线为 $k = 0, \pm 1, \pm 3, \pm 5$，共5条谱线。
光栅常数 $d = a + b$，其中 $a$ 是透光缝宽度，$b$ 是透光缝间距。题目中给出光栅的透光缝宽度 $a$ 与其间距 $b$ 相等，因此 $d = 2a$。光栅的刻痕数为5000条，长度为1厘米，所以光栅常数 $d = \frac{10^{-2} \text{m}}{5000} = 2 \times 10^{-6} \text{m}$。
步骤 2：计算最大可见级数
光线垂直入射时，衍射光栅的衍射公式为 $(a+b)\sin \phi = k\lambda$，其中 $\phi$ 是衍射角，$k$ 是级数，$\lambda$ 是波长。当 $\phi = 90^\circ$ 时，$\sin \phi = 1$，此时 $k$ 取最大值。因此，$k_{max} = \frac{(a+b)}{\lambda} = \frac{2a}{\lambda} = \frac{2 \times 10^{-6} \text{m}}{589 \times 10^{-9} \text{m}} = 3.39$。取整数部分，$k_{max} = 3$。
步骤 3：确定可见谱线
由于 $a = b$，所以 $(a+b)\sin \phi = 2a\sin \phi = ka$，即 $a\sin \phi = k\lambda/2$。当 $k$ 为偶数时，会出现缺级现象。因此，能看到的谱线为 $k = 0, \pm 1, \pm 3$，共5条谱线。
步骤 4：计算斜入射时的最大可见级数
光线以与光栅平面法线的夹角 $\theta = 30^\circ$ 的方向入射时，衍射光栅的衍射公式为 $(a+b)(\sin \phi + \sin \theta) = kh$。当 $\phi = 90^\circ$ 时，$\sin \phi = 1$，此时 $k$ 取最大值。因此，$k_{max} = \frac{(a+b)(\sin 30^\circ + \sin 90^\circ)}{\lambda} = \frac{2a(0.5 + 1)}{\lambda} = 5.09$。取整数部分，$k_{max} = 5$。当 $\phi = -90^\circ$ 时，$\sin \phi = -1$，此时 $k$ 取最小值。因此，$k_{min} = \frac{(a+b)(\sin 30^\circ - \sin 90^\circ)}{\lambda} = \frac{2a(0.5 - 1)}{\lambda} = -1.7$。取整数部分，$k_{min} = -1$。
步骤 5：确定可见谱线
由于 $a = b$，所以 $(a+b)(\sin \phi + \sin \theta) = 2a(\sin \phi + \sin \theta) = ka$，即 $a(\sin \phi + \sin \theta) = k\lambda/2$。当 $k$ 为偶数时，会出现缺级现象。因此，能看到的谱线为 $k = 0, \pm 1, \pm 3, \pm 5$，共5条谱线。