题目

14 lim_(xto1)((1)/(1-x)-(3)/(1-x^3)).

14 $\lim_{x\to1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^{3}}\right).$

题目解答

答案

将原式通分并化简： \[ \lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{1-x} - \frac{3}{1-x^3} \right) = \lim_{x \to 1} \frac{(1+x+x^2) - 3}{(1-x)(1+x+x^2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x - 2}{(1-x)(1+x+x^2)} \] 分子因式分解： \[ x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1) = -(x+2)(1-x) \] 消去公因子 $(1-x)$： \[ \lim_{x \to 1} \frac{-(x+2)}{1+x+x^2} = \frac{-(1+2)}{1+1+1} = -1 \] **答案：** $\boxed{-1}$

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及分式的通分、因式分解以及代数化简能力。关键在于处理分母中的立方差形式，并通过约分消除不定式。

解题思路：

  1. 通分：将两个分式合并为一个分式，找到公共分母；
  2. 因式分解：对分子进行因式分解，寻找与分母的公因子；
  3. 约分：消去公因子，将表达式化简为可直接代入的形式；
  4. 代入求值：代入$x=1$计算极限。

破题关键：识别$1-x^3$的立方差结构，正确分解后与分子约分，避免直接代入导致未定式。

步骤1：通分
原式为：
$\lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{1-x} - \frac{3}{1-x^3} \right)$
将$1-x^3$分解为$(1-x)(1+x+x^2)$，通分后得：
$\lim_{x \to 1} \frac{(1+x+x^2) - 3}{(1-x)(1+x+x^2)}$

步骤2：化简分子
分子化简为：
$1+x+x^2 - 3 = x^2 + x - 2$

步骤3：因式分解
将分子$x^2 + x - 2$分解为：
$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1) = -(x+2)(1-x)$

步骤4：约分
分子与分母中的$(1-x)$约去，得到：
$\lim_{x \to 1} \frac{-(x+2)}{1+x+x^2}$

步骤5：代入求值
代入$x=1$：
$$
\frac{-(1+2)}{1+1+1} = \frac{-3}{3} = -1



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