22 单选(4分) 设向量alpha_(1)=(1,2,4)、alpha_(2)=(-2,3,1)、alpha_(3)=(0,-2,lambda)，alpha_(1)，alpha_(2)，alpha_(3)三个向量共面，则lambda的值为（）A. (18)/(7)B. -(18)/(7)C. (7)/(18)D. -(7)/(18)

本题考查向量共面的知识点，解题思路是利用向量共面的性质，即三个向量共面则它们构成的行列式的值为$0$，通过计算行列式来求解$\lambda$的值。

已知向量$\alpha_{1}=(1,2,4)$、$\alpha_{2}=(-2,3,1)$、$\alpha_{3}=(0,-2,\lambda)$，因为$\alpha_{1}$，$\alpha_{2}$，$\alpha_{3}$三个向量共面，所以由这三个向量构成的行列式\(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ -2 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & \lambda \end{vmatrix}=0\)。

根据三阶行列式的计算公式\(\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}=a_{1}\begin{vmatrix} b_{2} & c_{2} \\ b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}-b_{1}\begin{vmatrix} a_{2} & c_{2} \\ a_{3} & c_{3} \end{vmatrix}+c_{1}\begin{vmatrix} a_{2} & b_{2} \\ a_{3} & b_{3} \end{vmatrix}\)，对上述行列式进行展开：

$\begin{align*}\begin{vmatrix}1 & 2 & 4 \\-2 & 3 & 1 \\0 & -2 & \lambda\end{vmatrix}&=1\times\begin{vmatrix}3 & 1 \\-2 & \lambda\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}-2 & 1 \\0 & \lambda\end{vmatrix}+4\times\begin{vmatrix}-2 & 3 \\0 & -2\end{vmatrix}\\&=1\times(3\lambda - (-2)\times1) - 2\times((-2)\lambda - 0\times1) + 4\times((-2)\times(-2) - 0\times3)\\&=1\times(3\lambda + 2) - 2\times(-2\lambda) + 4\times(4 - 0)\\&=3\lambda + 2 + 4\lambda + 16\\&=7\lambda + 18\end{align*}$

因为\(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ -2 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & \lambda \end{vmatrix}=0\)，所以$7\lambda + 18 = 0$。

移项可得$7\lambda = -18$，两边同时除以$7$，解得$\lambda = -\frac{18}{7}$。