已知有限集A=(a1，a2，…，an)（n≥2，n∈N），如果A中的元素ai（i=1，2，…，n）满足a1+a2+…+an=a1×a2×…×an，就称A为“完美集”．（1）判断：集合-1-sqrt(3)，-1+sqrt(3)是否是“完美集”并说明理由；（2）a1、a2是两个不同的正数，且(a1，a2)是“完美集”，求证：a1、a2至少有一个大于2；（3）若ai为正整数，求：“完美集”A．

（1）判断集合是否为“完美集”
关键点：直接计算集合元素的和与积，验证是否相等。
思路：根据定义，只需分别计算两数的和与积，若相等则为“完美集”。

（2）证明两正数中至少有一个大于2
关键点：利用二次方程根与系数的关系及判别式。
思路：设两数和为$t$，则积也为$t$，构造方程$x^2 - tx + t = 0$，通过判别式推导$t > 4$，进而证明至少有一个数大于2。

（3）寻找正整数的“完美集”
关键点：分情况讨论集合元素个数$n$，通过不等式排除法。
思路：当$n \geq 4$时，积增长速度远超和，必然矛盾；当$n=3$时，唯一解为$\{1,2,3\}$。

第（1）题

计算和与积

• 和：
  $(-1-\sqrt{3}) + (-1+\sqrt{3}) = -2$
• 积：
  $(-1-\sqrt{3})(-1+\sqrt{3}) = (-1)^2 - (\sqrt{3})^2 = 1 - 3 = -2$
  结论：和与积均为$-2$，满足条件，故是“完美集”。

第（2）题

设$a_1 + a_2 = a_1 a_2 = t$

• 构造方程：
  $x^2 - t x + t = 0$
• 判别式：
  $\Delta = t^2 - 4t > 0 \implies t > 4 \text{（舍去负解）}$
• 矛盾分析：若$a_1, a_2 \leq 2$，则$a_1 a_2 \leq 4$，与$t > 4$矛盾，故至少有一个数大于2。

第（3）题

分情况讨论$n$

当$n=2$时

• 假设$a_1=1$：
  $1 + a_2 = 1 \cdot a_2 \implies 1 = 0 \quad \text{（无解）}$

当$n=3$时

• 最小正整数尝试：
  $1 + 2 + 3 = 6, \quad 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$
  结论：$\{1,2,3\}$是唯一解。

当$n \geq 4$时

• 不等式矛盾：
  $a_1 a_2 \cdots a_{n-1} \geq 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) > n$
  与$a_1 a_2 \cdots a_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n < n a_n$矛盾，故不存在。