题目
设某台面包机生产的面包服从(mu ,(sigma )^2),现从中抽9个面包测量重量,计算它们的平均重量(mu ,(sigma )^2),样本方差(mu ,(sigma )^2),查表得(mu ,(sigma )^2),(mu ,(sigma )^2),据此在置信度95%下得到(mu ,(sigma )^2)的置信区间为( )。A(mu ,(sigma )^2)B(mu ,(sigma )^2)C(mu ,(sigma )^2)D(mu ,(sigma )^2)
设某台面包机生产的面包服从
,现从中抽9个面包测量重量,计算它们的平均重量
,样本方差
,查表得
,
,据此在置信度95%下得到
的置信区间为( )。
A
B
C
D
题目解答
答案
解：方差未知的小样本容量的总体均值的区间估计，应用
检验法，由其一般步骤可得条件如下：
①检验统计量：
②拒绝域：
t_{\frac{\alpha}{2}}\left(n-1\right)\right\}" data-width="193" data-height="44" data-size="3049" data-format="png" style="max-width:100%">
∴
综上，本题选D.
解析
步骤 1：确定检验方法
由于方差未知且样本容量较小，我们使用t检验法来估计总体均值的置信区间。
步骤 2：计算检验统计量
检验统计量为：$t = \dfrac{\overline{X} - \mu}{\dfrac{S}{\sqrt{n}}}$，其中$\overline{X}$是样本均值，$S$是样本标准差，$n$是样本容量。
步骤 3：确定置信区间
置信区间为：$\left(\overline{X} - t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \cdot \dfrac{S}{\sqrt{n}}, \overline{X} + t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \cdot \dfrac{S}{\sqrt{n}}\right)$，其中$t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$是自由度为$n-1$的t分布的临界值。
步骤 4：代入具体数值
根据题目给出的数据，$\overline{X} = 30$，$S^2 = 9$，$n = 9$，$t_{0.05}(8) = 2.306$，代入公式得：
$\left(30 - 2.306 \cdot \dfrac{3}{\sqrt{9}}, 30 + 2.306 \cdot \dfrac{3}{\sqrt{9}}\right)$
$= \left(30 - 2.306 \cdot 1, 30 + 2.306 \cdot 1\right)$
$= \left(30 - 2.306, 30 + 2.306\right)$
$= \left[27.694, 32.306\right]$
由于方差未知且样本容量较小，我们使用t检验法来估计总体均值的置信区间。
步骤 2：计算检验统计量
检验统计量为：$t = \dfrac{\overline{X} - \mu}{\dfrac{S}{\sqrt{n}}}$，其中$\overline{X}$是样本均值，$S$是样本标准差，$n$是样本容量。
步骤 3：确定置信区间
置信区间为：$\left(\overline{X} - t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \cdot \dfrac{S}{\sqrt{n}}, \overline{X} + t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) \cdot \dfrac{S}{\sqrt{n}}\right)$，其中$t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$是自由度为$n-1$的t分布的临界值。
步骤 4：代入具体数值
根据题目给出的数据，$\overline{X} = 30$，$S^2 = 9$，$n = 9$，$t_{0.05}(8) = 2.306$，代入公式得：
$\left(30 - 2.306 \cdot \dfrac{3}{\sqrt{9}}, 30 + 2.306 \cdot \dfrac{3}{\sqrt{9}}\right)$
$= \left(30 - 2.306 \cdot 1, 30 + 2.306 \cdot 1\right)$
$= \left(30 - 2.306, 30 + 2.306\right)$
$= \left[27.694, 32.306\right]$