求下列函数的自然定义域：(1) y=sqrt(3x+2);(2) y=(1)/(1-x^2);(3) y=(1)/(x)-sqrt(1-x^2);(4) y=(1)/(sqrt(4-x^2));(5) y=sinsqrt(x);(6) y=tan(x+1);(7) y=arcsin(x-3);(8) y=sqrt(3-x)+arctan(1)/(x);(9) y=ln(x+1);

我们来逐个分析每个函数的**自然定义域**，即在实数范围内，使得函数表达式有意义的所有自变量 $ x $ 的取值集合。 --- ### （1）$ y = \sqrt{3x + 2} $ **分析**： 根号内的表达式必须 **非负**，即： $$ 3x + 2 \geq 0 $$ 解这个不等式： $$ 3x \geq -2 \quad \Rightarrow \quad x \geq -\frac{2}{3} $$ **答案**： $$ \boxed{\left[ -\frac{2}{3}, +\infty \right)} $$ --- ### （2）$ y = \frac{1}{1 - x^2} $ **分析**： 分母不能为零，即： $$ 1 - x^2 \ne 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 \ne 1 \quad \Rightarrow \quad x \ne \pm 1 $$ **答案**： $$ \boxed{(-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)} $$ --- ### （3）$ y = \frac{1}{x} - \sqrt{1 - x^2} $ **分析**： 这个函数由两部分组成，需同时满足两部分的定义条件。 - 第一部分 $ \frac{1}{x} $：要求 $ x \ne 0 $ - 第二部分 $ \sqrt{1 - x^2} $：要求根号内非负，即： $$ 1 - x^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 \leq 1 \quad \Rightarrow \quad -1 \leq x \leq 1 $$ 综合两个条件： - $ x \in [-1, 1] $ - 且 $ x \ne 0 $ **答案**： $$ \boxed{[-1, 0) \cup (0, 1]} $$ --- ### （4）$ y = \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} $ **分析**： 分母是一个根号，需同时满足： 1. 根号内 **大于 0**（注意：不能等于 0，因为分母不能为 0） $$ 4 - x^2 > 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 < 4 \quad \Rightarrow \quad -2 < x < 2 $$ 注意：虽然 $ \sqrt{4 - x^2} $ 在 $ x = \pm 2 $ 时为 0，但此时分母为 0，不合法。 **答案**： $$ \boxed{(-2, 2)} $$ --- ### （5）$ y = \sin\sqrt{x} $ **分析**： - $ \sqrt{x} $ 要求 $ x \geq 0 $ - $ \sin(\cdot) $ 对所有实数都有定义，所以只要 $ \sqrt{x} $ 有定义即可 **答案**： $$ \boxed{[0, +\infty)} $$ --- ### （6）$ y = \tan(x + 1) $ **分析**： 正切函数 $ \tan\theta $ 的定义域是所有实数，**除了** $ \theta = \frac{\pi}{2} + k\pi $（$ k \in \mathbb{Z} $）的点。 这里 $ \theta = x + 1 $，所以要求： $$ x + 1 \ne \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \Rightarrow \quad x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi - 1, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **答案**： $$ \boxed{\left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \ne \frac{\pi}{2} - 1 + k\pi, \; k \in \mathbb{Z} \right\}} $$ --- ### （7）$ y = \arcsin(x - 3) $ **分析**： 反正弦函数 $ \arcsin(u) $ 的定义域是 $ u \in [-1, 1] $ 所以： $$ -1 \leq x - 3 \leq 1 $$ 两边加 3： $$ 2 \leq x \leq 4 $$ **答案**： $$ \boxed{[2, 4]} $$ --- ### （8）$ y = \sqrt{3 - x} + \arctan\frac{1}{x} $ **分析**： 两个部分： - $ \sqrt{3 - x} $：要求 $ 3 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3 $ - $ \arctan\frac{1}{x} $：要求 $ \frac{1}{x} $ 有定义，即 $ x \ne 0 $ 所以综合： - $ x \leq 3 $ - $ x \ne 0 $ **答案**： $$ \boxed{(-\infty, 0) \cup (0, 3]} $$ --- ### （9）$ y = \ln(x + 1) $ **分析**： 对数函数 $ \ln(u) $ 要求 $ u > 0 $ 所以： $$ x + 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -1 $$ **答案**： $$ \boxed{(-1, +\infty)} $$ --- ### 总结答案： | 题号 | 定义域 | |------|--------| | (1) | $ \left[ -\dfrac{2}{3}, +\infty \right) $ | | (2) | $ (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty) $ | | (3) | $ [-1, 0) \cup (0, 1] $ | | (4) | $ (-2, 2) $ | | (5) | $ [0, +\infty) $ | | (6) | $ x \ne \dfrac{\pi}{2} - 1 + k\pi,\ k \in \mathbb{Z} $ | | (7) | $ [2, 4] $ | | (8) | $ (-\infty, 0) \cup (0, 3] $ | | (9) | $ (-1, +\infty) $ | 所有答案已给出，符合实数范围内函数的自然定义域。