题目
[题目]-|||-设某网店每天接到的订单数服从参数为20的泊松分布.若-|||-一年365天该网店都营业,且假设每天得到的订单数相互独立.求该-|||-网店一年至少得到7400个订单的概率的近似值.(要求用中心极限定-|||-理求解,已知 Phi (1.170)=0.8790 .
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义随机变量
设 $X_i$ 为第 $i$ 天接到的订单数，$i=1,2,\cdots,365$。根据题意，$X_i$ 服从参数为20的泊松分布，即 $X_i \sim P(20)$。
步骤 2：计算期望和方差
由于 $X_i$ 服从参数为20的泊松分布，因此 $E(X_i) = 20$，$D(X_i) = 20$。一年365天的订单总数为 $\sum_{i=1}^{365} X_i$，因此期望和方差分别为：
$$E\left(\sum_{i=1}^{365} X_i\right) = 365 \times 20 = 7300$$
$$D\left(\sum_{i=1}^{365} X_i\right) = 365 \times 20 = 7300$$
步骤 3：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当样本量足够大时，随机变量之和的分布近似于正态分布。因此，$\sum_{i=1}^{365} X_i$ 近似服从正态分布 $N(7300, 7300)$。
步骤 4：计算概率
要求一年至少得到7400个订单的概率，即求 $P\left(\sum_{i=1}^{365} X_i \geq 7400\right)$。将问题转化为标准正态分布问题：
$$P\left(\sum_{i=1}^{365} X_i \geq 7400\right) = P\left(\frac{\sum_{i=1}^{365} X_i - 7300}{\sqrt{7300}} \geq \frac{7400 - 7300}{\sqrt{7300}}\right)$$
$$= P\left(Z \geq \frac{100}{\sqrt{7300}}\right)$$
$$= P\left(Z \geq 1.170\right)$$
其中 $Z$ 为标准正态分布随机变量。根据题目给出的 $\Phi(1.170) = 0.8790$，可以得到：
$$P\left(Z \geq 1.170\right) = 1 - \Phi(1.170) = 1 - 0.8790 = 0.1210$$
设 $X_i$ 为第 $i$ 天接到的订单数，$i=1,2,\cdots,365$。根据题意，$X_i$ 服从参数为20的泊松分布，即 $X_i \sim P(20)$。
步骤 2：计算期望和方差
由于 $X_i$ 服从参数为20的泊松分布，因此 $E(X_i) = 20$，$D(X_i) = 20$。一年365天的订单总数为 $\sum_{i=1}^{365} X_i$，因此期望和方差分别为：
$$E\left(\sum_{i=1}^{365} X_i\right) = 365 \times 20 = 7300$$
$$D\left(\sum_{i=1}^{365} X_i\right) = 365 \times 20 = 7300$$
步骤 3：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当样本量足够大时，随机变量之和的分布近似于正态分布。因此，$\sum_{i=1}^{365} X_i$ 近似服从正态分布 $N(7300, 7300)$。
步骤 4：计算概率
要求一年至少得到7400个订单的概率，即求 $P\left(\sum_{i=1}^{365} X_i \geq 7400\right)$。将问题转化为标准正态分布问题：
$$P\left(\sum_{i=1}^{365} X_i \geq 7400\right) = P\left(\frac{\sum_{i=1}^{365} X_i - 7300}{\sqrt{7300}} \geq \frac{7400 - 7300}{\sqrt{7300}}\right)$$
$$= P\left(Z \geq \frac{100}{\sqrt{7300}}\right)$$
$$= P\left(Z \geq 1.170\right)$$
其中 $Z$ 为标准正态分布随机变量。根据题目给出的 $\Phi(1.170) = 0.8790$，可以得到：
$$P\left(Z \geq 1.170\right) = 1 - \Phi(1.170) = 1 - 0.8790 = 0.1210$$