7 (2021江苏)设lim_(xtoinfty)xln(1+(k)/(x))=lim_(xto0)(sin3x)/(x)，则常数k=____

为了解决给定的问题，我们需要评估等式两边的极限，然后找到常数 $ k $ 的值。 等式是： \[ \lim_{x \to \infty} x \ln \left(1 + \frac{k}{x}\right) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} \] 首先，我们来评估等式的右边： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} \] 我们可以使用已知的极限 $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$。为了使用这个极限，我们可以将表达式重写为： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} 3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x} = 3 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 3 \cdot 1 = 3 \] 因此，等式的右边等于 3。 接下来，我们来评估等式的左边： \[ \lim_{x \to \infty} x \ln \left(1 + \frac{k}{x}\right) \] 为了简化这个极限，我们可以使用对于小 $ y $ 的近似 $\ln(1 + y) \approx y$。当 $ x \to \infty $ 时，$\frac{k}{x} \to 0$，因此我们可以使用这个近似： \[ \ln \left(1 + \frac{k}{x}\right) \approx \frac{k}{x} \] 将这个近似代入极限中，我们得到： \[ \lim_{x \to \infty} x \ln \left(1 + \frac{k}{x}\right) \approx \lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{k}{x} = \lim_{x \to \infty} k = k \] 因此，等式的左边等于 $ k $。 由于等式的两边相等，我们有： \[ k = 3 \] 因此，常数 $ k $ 的值是 $\boxed{3}$。