设随机变量 X 和 Y 均服从正态分布，X sim N(mu, 4^2)，Y sim N(mu, 5^2)，而 p_1 = P(X leq mu - 4)，p_2 = P(Y geq mu + 5)，则有______.A. p_1 > p_2B. p_1 C. p_1 + p_2 = 1D. p_1 = p_2

考查要点：本题主要考查正态分布的标准化处理及标准正态分布的对称性性质。

解题核心思路：

1. 将两个正态分布变量分别标准化为标准正态分布变量。
2. 利用标准正态分布关于均值对称的性质，比较两个概率的大小关系。

破题关键点：

• 标准化转换：将原变量转化为标准正态变量，简化概率计算。
• 对称性应用：标准正态分布中，$P(Z \leq -a) = P(Z \geq a)$，这是比较概率的关键。

步骤1：标准化处理

• 变量$X$：
  $X \sim N(\mu, 4^2)$，标准化得 $Z_X = \frac{X - \mu}{4}$，则
  $p_1 = P(X \leq \mu - 4) = P\left(Z_X \leq \frac{\mu - 4 - \mu}{4}\right) = P(Z_X \leq -1).$

• 变量$Y$：
  $Y \sim N(\mu, 5^2)$，标准化得 $Z_Y = \frac{Y - \mu}{5}$，则
  $p_2 = P(Y \geq \mu + 5) = P\left(Z_Y \geq \frac{\mu + 5 - \mu}{5}\right) = P(Z_Y \geq 1).$

步骤2：利用对称性比较概率

• 标准正态分布关于均值$\mu=0$对称，因此：
  $P(Z_X \leq -1) = P(Z_X \geq 1).$
  同时，$Z_Y$也服从标准正态分布，故：
  $P(Z_Y \geq 1) = P(Z_X \geq 1).$
  综上，$p_1 = P(Z_X \leq -1) = P(Z_X \geq 1) = p_2$。