【题目】已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布 N(4.55,0.108^2) .现在测定了9炉铁水,其平均含碳量为4.484.如果估计方差没有变化,可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为 4.55(α=0.05)?

考查要点：本题主要考查正态总体均值的假设检验，涉及Z检验（U检验）的应用，以及双侧检验的判断。

解题核心思路：

1. 确定假设形式：根据题意，原假设$H_0: \mu = 4.55$，备择假设$H_1: \mu \neq 4.55$，属于双侧检验。
2. 选择检验统计量：由于总体方差$\sigma^2 = 0.108^2$已知，且样本容量$n=9$较小，直接使用Z检验统计量。
3. 计算检验统计量值：通过公式$U = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$代入数据。
4. 确定拒绝域：根据显著性水平$\alpha = 0.05$，查标准正态分布表得到临界值$u_{\alpha/2} = 1.96$，判断统计量是否落在拒绝域。

破题关键点：

• 区分单侧与双侧检验：双侧检验需比较$|U|$与临界值。
• 正确计算标准误：注意分母为$\sigma / \sqrt{n}$，而非$\sigma$。

建立假设

• 原假设：$H_0: \mu = 4.55$（平均含碳量仍为4.55）
• 备择假设：$H_1: \mu \neq 4.55$（平均含碳量不等于4.55）

选择检验统计量

由于总体方差$\sigma^2 = 0.108^2$已知，且样本来自正态分布，选用Z检验统计量：
$U = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$

计算检验统计量值

代入数据：

• 样本均值$\bar{X} = 4.484$
• 假设均值$\mu_0 = 4.55$
• 标准差$\sigma = 0.108$
• 样本容量$n = 9$

计算得：
$U = \frac{4.484 - 4.55}{0.108 / \sqrt{9}} = \frac{-0.066}{0.036} \approx -1.833$

确定拒绝域与结论

• 显著性水平$\alpha = 0.05$，双侧检验临界值为$u_{\alpha/2} = 1.96$。
• 比较$|U| = 1.833$与临界值$1.96$，因$1.833 < 1.96$，统计量未落入拒绝域，故不拒绝原假设。