8.(2017年)已知A,B,C,I均为 (ngeqslant 2) 阶方阵,其中I为单位矩阵,若 =1 ,-|||-则下列各式中总成立的是 ()-|||-A. =1 B. =1-|||-C. =1 D. =1

本题考查矩阵乘法的性质及逆矩阵的应用。关键点在于理解矩阵乘法不满足交换律，但可以通过逆矩阵的性质进行推导。已知$ABC=I$，需判断各选项中矩阵乘积是否恒等于单位矩阵$I$。

核心思路：

1. 逆矩阵的定义：若$ABC=I$，则$C$是$AB$的逆矩阵，即$(AB)^{-1}=C$。
2. 逆矩阵的性质：若$M^{-1}=N$，则$NM=I$。
3. 选项验证：通过逆矩阵的性质推导各选项是否成立，必要时构造反例验证。

选项A：$BCA=I$

1. 推导过程：
   • 由$ABC=I$，得$C=(AB)^{-1}$。
   • 将$C$代入$BCA$：
     $BCA = B \cdot (AB)^{-1} \cdot A.$
   • 利用逆矩阵性质$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$，得：
     $BCA = B \cdot B^{-1}A^{-1} \cdot A = I.$
   • 结论：$BCA=I$恒成立。

选项B：$ACB=I$

1. 反例验证：
   • 构造具体矩阵$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$，$C=(AB)^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$。
   • 计算$ACB$得非单位矩阵，故$ACB \neq I$。

选项C：$BAC=I$

1. 反例验证：
   • 同样利用上述矩阵，计算$BAC$得非单位矩阵，故$BAC \neq I$。

选项D：$CBA=I$

1. 反例验证：
   • 同样利用上述矩阵，计算$CBA$得非单位矩阵，故$CBA \neq I$。