个正确选项，每题5分，总共100分）极限lim_(xto0)(1-sqrt(cos x))/(xln(1+x))的值为（）.bigcircA、(1)/(4)bigcircB、(1)/(2)bigcircC、(1)/(3)bigcircD、(1)/(6)
题目解答
答案
将原式分子有理化得：
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \sqrt{\cos x}}{x \ln(1+x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x \ln(1+x)(1 + \sqrt{\cos x})}$
当 $x \to 0$ 时，$1 + \sqrt{\cos x} \to 2$，且 $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$，$\ln(1+x) \sim x$，代入得：
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{2x \cdot x} = \frac{1}{4}$
或者使用泰勒展开近似：
$\sqrt{\cos x} \approx 1 - \frac{x^2}{4}, \quad x \ln(1+x) \approx x^2$
则原式近似为：
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{4}}{x^2} = \frac{1}{4}$
答案： $\boxed{A}$
解析
考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是利用分子有理化和等价无穷小替换处理复杂分式极限的能力。
解题核心思路：
当分子和分母同时趋近于0时，可考虑将分子有理化，简化表达式。进一步利用等价无穷小替换（如$1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$，$\ln(1+x) \sim x$）将复杂函数替换为多项式形式，从而快速求出极限值。
破题关键点：
- 分子有理化消除根号，将原式转化为更易处理的形式。
- 分离常数项（如$1+\sqrt{\cos x} \to 2$），简化分母。
- 等价无穷小替换将三角函数和对数函数替换为多项式，直接计算极限。
步骤1：分子有理化
原式分子为$1-\sqrt{\cos x}$，通过分子有理化：
$\begin{aligned}\lim_{x \to 0} \frac{1-\sqrt{\cos x}}{x \ln(1+x)} &= \lim_{x \to 0} \frac{(1-\sqrt{\cos x})(1+\sqrt{\cos x})}{x \ln(1+x)(1+\sqrt{\cos x})} \\&= \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x \ln(1+x)(1+\sqrt{\cos x})}.\end{aligned}$
步骤2：分析各部分极限
- 当$x \to 0$时，$1+\sqrt{\cos x} \to 2$，可视为常数。
- 利用等价无穷小替换：
$1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$，$\ln(1+x) \sim x$。
步骤3：代入化简
将替换结果代入原式：
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x \cdot x \cdot 2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{2x^2} = \frac{1}{4}.$