题目
38.（2.0分）设X~N(1,4),则P(0≤X<1.6)=____。（结果保留4位小数，Phi(0.3)=0.6179,Phi(0.5)=0.6915,Phi(1)=0.8413）
38.（2.0分）设X~N(1,4),则P{0≤X<1.6}=____。（结果保留4位小数，$\Phi(0.3)=0.6179$,$\Phi(0.5)=0.6915$,$\Phi(1)=0.8413$）
题目解答
答案
为了求解 $ P\{0 \leq X < 1.6\} $ 其中 $ X \sim N(1, 4) $，我们需要将 $ X $ 转换为标准正态分布 $ Z \sim N(0, 1) $。标准正态分布的转换公式为：
\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]
其中 $ \mu = 1 $ 和 $ \sigma = \sqrt{4} = 2 $。因此，我们有：
\[ Z = \frac{X - 1}{2} \]
我们需要求 $ P\{0 \leq X < 1.6\} $。将 $ X $ 转换为 $ Z $，我们得到：
\[ P\{0 \leq X < 1.6\} = P\left\{\frac{0 - 1}{2} \leq Z < \frac{1.6 - 1}{2}\right\} = P\left\{-0.5 \leq Z < 0.3\right\} \]
标准正态分布的累积分布函数 $ \Phi(z) $ 定义为 $ P\{Z \leq z\} $。因此，我们可以将上式重写为：
\[ P\left\{-0.5 \leq Z < 0.3\right\} = \Phi(0.3) - \Phi(-0.5) \]
由于标准正态分布是关于0对称的，我们有 $ \Phi(-0.5) = 1 - \Phi(0.5) $。代入这个关系，我们得到：
\[ P\left\{-0.5 \leq Z < 0.3\right\} = \Phi(0.3) - (1 - \Phi(0.5)) = \Phi(0.3) + \Phi(0.5) - 1 \]
现在，我们使用题目中给出的 $ \Phi(0.3) $ 和 $ \Phi(0.5) $ 的值：
\[ \Phi(0.3) = 0.6179 \]
\[ \Phi(0.5) = 0.6915 \]
代入这些值，我们得到：
\[ P\left\{-0.5 \leq Z < 0.3\right\} = 0.6179 + 0.6915 - 1 = 0.3094 \]
因此， $ P\{0 \leq X < 1.6\} $ 的值为：
\[ \boxed{0.3094} \]
解析
考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及标准化变换和标准正态分布函数$\Phi(z)$的应用。
解题核心思路：
- 标准化：将非标准正态分布$X \sim N(1,4)$转化为标准正态分布$Z$。
- 确定区间：将原变量$X$的区间端点转换为标准正态变量$Z$的值。
- 利用对称性：通过$\Phi(-a) = 1 - \Phi(a)$简化计算。
- 查表计算：结合题目给定的$\Phi(0.3)$和$\Phi(0.5)$的值，求出最终概率。
破题关键点：
- 正确应用标准化公式：$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
- 处理负数的$\Phi$值：利用标准正态分布的对称性，将$\Phi(-0.5)$转换为$1 - \Phi(0.5)$。
-
标准化转换
已知$X \sim N(1,4)$，即$\mu = 1$，$\sigma = \sqrt{4} = 2$。
标准化公式为：
$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 1}{2}$ -
确定$Z$的区间
原区间$0 \leq X < 1.6$对应的$Z$值为：- 当$X = 0$时，$Z = \frac{0 - 1}{2} = -0.5$
- 当$X = 1.6$时，$Z = \frac{1.6 - 1}{2} = 0.3$
因此，概率转化为：
$P\{0 \leq X < 1.6\} = P\{-0.5 \leq Z < 0.3\}$
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计算概率差
根据标准正态分布的性质：
$P\{-0.5 \leq Z < 0.3\} = \Phi(0.3) - \Phi(-0.5)$
利用对称性$\Phi(-0.5) = 1 - \Phi(0.5)$，代入已知值：
$\Phi(0.3) = 0.6179, \quad \Phi(0.5) = 0.6915$
$\Phi(-0.5) = 1 - 0.6915 = 0.3085$
最终概率为：
$0.6179 - 0.3085 = 0.3094$