10.设总体Xsim N(0,1)，X_(1),X_(2),...,X_(6)是来自总体X的简单随机样本，X,S²分别为样本均值和样本方差，T=5overline(X)^2+(1)/(6)S^2，则D(T)=（）.A. (2)/(5)B. (7)/(5)C. (9)/(5)D. (11)/(5)

考查要点：本题主要考查正态总体下样本均值、样本方差的性质，以及随机变量函数方差的计算。
解题核心思路：

1. 确定样本均值和样本方差的分布：利用正态总体的性质，样本均值$\overline{X}$服从$N(0, \frac{1}{6})$，样本方差$S^2$的方差公式为$\frac{2}{n-1}$。
2. 分解方差：由于$\overline{X}$与$S^2$独立，$T$的方差可分解为两部分方差之和。
3. 计算各部分方差：分别计算$D(5\overline{X}^2)$和$D\left(\frac{1}{6}S^2\right)$，最后相加得到结果。

步骤1：计算$D(5\overline{X}^2)$

1. 样本均值的分布：$\overline{X} \sim N\left(0, \frac{1}{6}\right)$，即$\overline{X}$的方差为$\frac{1}{6}$。
2. $\overline{X}^2$的方差：
   对于正态变量$Y \sim N(0, \sigma^2)$，$Y^2$的方差为$2\sigma^4$。
   代入$\sigma^2 = \frac{1}{6}$，得：
   $D(\overline{X}^2) = 2 \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{18}.$
3. 缩放后的方差：
   $D(5\overline{X}^2) = 5^2 \cdot \frac{1}{18} = \frac{25}{18}.$

步骤2：计算$D\left(\frac{1}{6}S^2\right)$

1. 样本方差的方差：
   对于正态总体，$D(S^2) = \frac{2\sigma^4}{n-1}$。
   代入$\sigma^2 = 1$，$n = 6$，得：
   $D(S^2) = \frac{2}{6-1} = \frac{2}{5}.$
2. 缩放后的方差：
   $D\left(\frac{1}{6}S^2\right) = \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{180} = \frac{1}{90}.$

步骤3：合并方差

由于$\overline{X}$与$S^2$独立，总方差为：
$D(T) = \frac{25}{18} + \frac{1}{90} = \frac{125}{90} + \frac{1}{90} = \frac{126}{90} = \frac{7}{5}.$