题目

已知随机变量sim N(-1,9) sim N((1,4)^2),且X与Y相互独立,则sim N(-1,9) sim N((1,4)^2),( )A sim N(-1,9) sim N((1,4)^2),B sim N(-1,9) sim N((1,4)^2),C sim N(-1,9) sim N((1,4)^2),D sim N(-1,9) sim N((1,4)^2),

已知随机变量 $X\sim N(-1,9),Y\sim N(1,4^2),$ 且X与Y相互独立,则 $X+Y\sim$ ( )

A $N(0,16)$

B $N(0,25)$

C $N(2,25)$

D $N(0,9)$

题目解答

答案

解：由题意得

$E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)=-1+1=0$

$D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)=9+16=25$

所以 $X+Y\sim N(0,25)$

故答案选B

解析

步骤 1：确定随机变量X和Y的期望和方差
已知随机变量$X\sim N(-1,9)$，表示X服从均值为-1，方差为9的正态分布。随机变量$Y\sim N(1,16)$，表示Y服从均值为1，方差为16的正态分布。
步骤 2：计算$X+Y$的期望
由于X和Y相互独立，所以$X+Y$的期望等于X的期望加上Y的期望，即$E(X+Y)=E(X)+E(Y)=-1+1=0$。
步骤 3：计算$X+Y$的方差
由于X和Y相互独立，所以$X+Y$的方差等于X的方差加上Y的方差，即$D(X+Y)=D(X)+D(Y)=9+16=25$。
步骤 4：确定$X+Y$的分布
根据步骤2和步骤3，$X+Y$的期望为0，方差为25，所以$X+Y$服从均值为0，方差为25的正态分布，即$X+Y\sim N(0,25)$。