设总体X的概率分布为X 0 1 2 3 P θ2 2θ（1-θ） θ2 1-2θ 其中θ（0＜θ＜ 1/2）是未知参数，利用总体X的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计和最大似然估计值．

考查要点：本题主要考查参数估计中的矩估计法和最大似然估计法的应用，涉及概率分布的期望计算、样本均值的计算以及对似然函数的求导求解。

解题核心思路：

1. 矩估计：通过总体期望与样本均值相等建立方程，解方程得到参数估计值。
2. 最大似然估计：构造似然函数，取对数后求导，解方程得到参数估计值。需注意参数的约束条件（$0 < \theta < \frac{1}{2}$）。

破题关键点：

• 矩估计的关键是正确计算总体期望$E(X)$，并用样本均值代替总体期望。
• 最大似然估计需正确写出似然函数，对数似然函数求导后化简方程，注意解的合理性验证。

矩估计

1. 计算总体期望：
   $E(X) = 0 \cdot \theta^2 + 1 \cdot 2\theta(1-\theta) + 2 \cdot \theta^2 + 3 \cdot (1-2\theta) = 3 - 4\theta$

2. 计算样本均值：
   样本值为$3,1,3,0,3,1,2,3$，样本均值为：
   $\bar{x} = \frac{3+1+3+0+3+1+2+3}{8} = 2$

3. 建立方程并求解：
   令$E(X) = \bar{x}$，即：
   $3 - 4\theta = 2 \implies \theta = \frac{1}{4}$

最大似然估计

1. 构造似然函数：
   样本中各取值出现的次数为：$X=0$（1次），$X=1$（2次），$X=2$（1次），$X=3$（4次）。似然函数为：
   $L(\theta) = (\theta^2)^1 \cdot [2\theta(1-\theta)]^2 \cdot (\theta^2)^1 \cdot (1-2\theta)^4 = 4\theta^6 (1-\theta)^2 (1-2\theta)^4$

2. 取对数并对$\theta$求导：
   $\ln L(\theta) = \ln 4 + 6\ln\theta + 2\ln(1-\theta) + 4\ln(1-2\theta)$
   $\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = \frac{6}{\theta} - \frac{2}{1-\theta} - \frac{8}{1-2\theta} = 0$

3. 化简方程并求解：
   通分后得到二次方程：
   $24\theta^2 - 28\theta + 6 = 0 \implies \theta = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{12}$
   验证解的合理性，最终取$\theta = \frac{7 - \sqrt{13}}{12}$（约$0.2829$，满足$0 < \theta < \frac{1}{2}$）。