56(2016,20题,11分)设D是由曲线y=sqrt(1-x^2)(0le xle 1)与}x=cos^3t,y=sin^3t,(0le tle (pi)/(2))围成的平面区域，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积.

考查要点：本题主要考查旋转体的体积与表面积计算，涉及参数方程的处理及积分应用。

解题思路：

1. 体积计算：利用圆盘法分别计算两条曲线绕x轴旋转的体积，再通过减法得到区域D的体积。
2. 表面积计算：利用侧面积公式分别计算两条曲线绕x轴旋转的表面积，再通过加法得到总表面积。

关键点：

• 参数方程转换：将参数方程转换为关于t的积分表达式，注意弧长元素的计算。
• 积分技巧：利用Beta函数或递推公式简化复杂积分，注意符号处理。

体积计算

曲线 $y = \sqrt{1 - x^2}$ 的体积

使用圆盘法，体积公式为：
$V_1 = \pi \int_{0}^{1} (\sqrt{1 - x^2})^2 \, dx = \pi \int_{0}^{1} (1 - x^2) \, dx = \frac{2\pi}{3}$

参数曲线 $x = \cos^3 t, y = \sin^3 t$ 的体积

体积公式为：
$V_2 = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^3 t)^2 \cdot \frac{dx}{dt} \, dt$
计算 $\frac{dx}{dt} = -3\cos^2 t \sin t$，代入得：
$V_2 = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^6 t \cdot (-3\cos^2 t \sin t) \, dt = \frac{16\pi}{105}$

总体积

区域D的体积为两曲线体积之差：
$V = V_1 - V_2 = \frac{2\pi}{3} - \frac{16\pi}{105} = \frac{18\pi}{35}$

表面积计算

曲线 $y = \sqrt{1 - x^2}$ 的表面积

侧面积公式为：
$S_1 = 2\pi \int_{0}^{1} \sqrt{1 - x^2} \cdot \sqrt{1 + \left(\frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}\right)^2} \, dx = 2\pi$

参数曲线 $x = \cos^3 t, y = \sin^3 t$ 的表面积

弧长元素 $ds = 3\cos t \sin t \, dt$，表面积公式为：
$S_2 = 2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 t \cdot 3\cos t \sin t \, dt = \frac{6\pi}{5}$

总表面积

总表面积为两部分之和：
$S = S_1 + S_2 = 2\pi + \frac{6\pi}{5} = \frac{16\pi}{5}$