题目
16 判断 (5分) 2024年我国某类企业共有15000家，其中资产负债率超过60%的企业占比为30%。若某位调查分析人员想以95%的置信水平，估计2025年上半年我国该类企业中资产负债率超过60%的企业占比情况，并准备采用简单随机不重复抽样组织方式获取样本，并要求最大误差不超过5%，则该调查分析人员至少需要抽取316家该类企业。A. √B. ×
16 判断 (5分) 2024年我国某类企业共有15000家，其中资产负债率超过60%的企业占比为30%。若某位调查分析人员想以95%的置信水平，估计2025年上半年我国该类企业中资产负债率超过60%的企业占比情况，并准备采用简单随机不重复抽样组织方式获取样本，并要求最大误差不超过5%，则该调查分析人员至少需要抽取316家该类企业。
A. √
B. ×
题目解答
答案
B. ×
解析
步骤 1：确定样本大小公式
在简单随机不重复抽样中，估计比例 $ p $ 的样本大小 $ n $ 的公式为： \[ n = \frac{Z^2 \cdot p \cdot (1 - p)}{E^2} \] 其中： - $ Z $ 是与置信水平相对应的 Z 分数。对于95%的置信水平，Z分数为1.96。 - $ p $ 是总体中资产负债率超过60%的企业占比的估计值。由于我们没有2025年的数据，我们使用2024年的数据，即 $ p = 0.30 $。 - $ E $ 是最大可接受误差，即5%，或0.05。
步骤 2：计算样本大小
将这些值代入公式，我们得到： \[ n = \frac{1.96^2 \cdot 0.30 \cdot (1 - 0.30)}{0.05^2} \] 首先，计算 $ 1.96^2 $： \[ 1.96^2 = 3.8416 \] 接下来，计算 $ 0.30 \cdot (1 - 0.30) $： \[ 0.30 \cdot 0.70 = 0.21 \] 现在，将这些值代回公式： \[ n = \frac{3.8416 \cdot 0.21}{0.0025} \] 计算分子： \[ 3.8416 \cdot 0.21 = 0.806736 \] 现在，除以分母： \[ n = \frac{0.806736}{0.0025} = 322.6944 \] 由于样本大小必须是整数，我们向上取整到下一个整数，即323。
步骤 3：比较样本大小
由于问题中提到的316家企业少于323家，所以答案是： $\boxed{B}$
在简单随机不重复抽样中，估计比例 $ p $ 的样本大小 $ n $ 的公式为： \[ n = \frac{Z^2 \cdot p \cdot (1 - p)}{E^2} \] 其中： - $ Z $ 是与置信水平相对应的 Z 分数。对于95%的置信水平，Z分数为1.96。 - $ p $ 是总体中资产负债率超过60%的企业占比的估计值。由于我们没有2025年的数据，我们使用2024年的数据，即 $ p = 0.30 $。 - $ E $ 是最大可接受误差，即5%，或0.05。
步骤 2：计算样本大小
将这些值代入公式，我们得到： \[ n = \frac{1.96^2 \cdot 0.30 \cdot (1 - 0.30)}{0.05^2} \] 首先，计算 $ 1.96^2 $： \[ 1.96^2 = 3.8416 \] 接下来，计算 $ 0.30 \cdot (1 - 0.30) $： \[ 0.30 \cdot 0.70 = 0.21 \] 现在，将这些值代回公式： \[ n = \frac{3.8416 \cdot 0.21}{0.0025} \] 计算分子： \[ 3.8416 \cdot 0.21 = 0.806736 \] 现在，除以分母： \[ n = \frac{0.806736}{0.0025} = 322.6944 \] 由于样本大小必须是整数，我们向上取整到下一个整数，即323。
步骤 3：比较样本大小
由于问题中提到的316家企业少于323家，所以答案是： $\boxed{B}$