设(X1,···,Xn)是取自总体X的一个样本,总体X的分布律如下表-|||-所示:-|||-X -1 0 1-|||-P dfrac (theta )(2) https:/img.zuoyebang.cc/zyb_b8ec02b4ea5a3f9e96b4367264aca712.jpg-theta dfrac (theta )(2)-|||-其中θ未知, lt theta lt 1. 试求θ的矩估计量θ1和最大似然估计量θ2,并讨论01和-|||-θ2的无偏性,若不是无偏估计,试修正为无偏估计.

步骤 1：求矩估计量
首先，我们计算总体X的二阶矩，即E(X^2)。根据分布律，我们有：
E(X^2) = (-1)^2 * (θ/2) + 0^2 * (1-θ) + 1^2 * (θ/2) = θ/2 + θ/2 = θ
因此，总体X的二阶矩等于θ。根据矩估计法，我们用样本的二阶矩来估计总体的二阶矩，即：
${\hat {\theta }}_{1} = \dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}$
步骤 2：求最大似然估计量
接下来，我们求θ的最大似然估计量。似然函数为：
$L(\theta ) = \left(\dfrac {\theta }{2}\right)^{\sum _{i=1}^{n}|{X}_{i}|}(1-\theta)^{n-\sum _{i=1}^{n}|{X}_{i}|}$
对数似然函数为：
$\ln L(\theta) = \sum _{i=1}^{n}|{X}_{i}|\ln\left(\dfrac {\theta }{2}\right) + (n-\sum _{i=1}^{n}|{X}_{i}|)\ln(1-\theta)$
对θ求导并令导数为0，得到：
$\dfrac {d\ln L(\theta)}{d\theta} = \dfrac {\sum _{i=1}^{n}|{X}_{i}|}{\theta} - \dfrac {n-\sum _{i=1}^{n}|{X}_{i}|}{1-\theta} = 0$
解得θ的最大似然估计量为：
${\theta }_{2} = \dfrac {\sum _{i=1}^{n}|{X}_{i}|}{n}$
步骤 3：讨论无偏性
我们先计算E(θ1)：
E(θ1) = E(1/n * ΣXi^2) = 1/n * ΣE(Xi^2) = 1/n * n * θ = θ
因此，θ1是无偏估计。
再计算E(θ2)：
E(θ2) = E(1/n * Σ|Xi|) = 1/n * ΣE(|Xi|) = 1/n * n * θ = θ
因此，θ2也是无偏估计。