7.1 已知正常情况下生产某种汽车零件的质量(单位:g)服从正态分布N(54,0.75^2).-|||-某日生产的零件中抽取10件,测得质量如下:-|||-54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.155.3-|||-如果标准差不变,该日生产的零件质量的均值是否有显著差异?(取显著性水平 alpha =0.05

考查要点：本题主要考查正态分布下总体均值的假设检验，属于参数假设检验中的Z检验（已知总体方差）。
解题核心思路：

1. 建立假设：原假设为总体均值与正常情况相同（$H_0: \mu = 54$），备择假设为均值存在显著差异（$H_1: \mu \neq 54$）。
2. 计算检验统计量：利用样本均值、总体方差和样本量计算Z值。
3. 比较临界值或p值：根据显著性水平$\alpha=0.05$确定临界值，判断是否拒绝原假设。
   破题关键：正确计算样本均值和Z值，明确双侧检验的临界值范围。

步骤1：建立假设

• 原假设：$H_0: \mu = 54$（该日均值与正常情况无显著差异）
• 备择假设：$H_1: \mu \neq 54$（该日均值与正常情况有显著差异）

步骤2：计算样本均值

样本数据：$54.0, 55.1, 53.8, 54.2, 52.1, 54.2, 55.0, 55.8, 55.1, 55.3$
样本均值：
$\bar{x} = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} x_i = \frac{544.6}{10} = 54.46$

步骤3：计算Z检验统计量

已知总体方差$\sigma^2 = 0.75^2$，样本量$n=10$，Z值公式为：
$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{54.46 - 54}{0.75 / \sqrt{10}} \approx \frac{0.46}{0.2372} \approx 1.939$

步骤4：确定临界值与决策

• 显著性水平$\alpha=0.05$，双侧检验临界值为$\pm 1.96$。
• 计算得$Z \approx 1.939$，小于临界值$1.96$，未超出拒绝域，故不拒绝原假设。