题目

设总体分布为 N(mu,sigma^2)，mu 已知，则 sigma^2 的最大似然估计量为（ ）A. S^2B. (n-1)/(n)S^2C. (1)/(n)sum_(i=1)^n(X_i-mu)^2D. (1)/(n-1)sum_(i=1)^n(X_i-mu)^2

设总体分布为 $N(\mu,\sigma^2)$，$\mu$ 已知，则 $\sigma^2$ 的最大似然估计量为（ ） A. $S^2$ B. $\frac{n-1}{n}S^2$ C. $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$ D. $\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$

题目解答

答案

我们来一步一步地分析这个题目： --- ### 题目内容： 设总体分布为 $N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu$ 已知，求 $\sigma^2$ 的最大似然估计量（MLE）。 --- ### 第一步：写出似然函数 设总体服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu$ 已知，$\sigma^2$ 未知。 设样本为 $X_1, X_2, \dots, X_n$，它们是独立同分布的样本。 正态分布的概率密度函数为： $$ f(x_i; \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma^2}\right) $$ 似然函数为： $$ L(\sigma^2) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma^2}\right) $$ 取对数似然函数： $$ \ln L(\sigma^2) = \sum_{i=1}^n \left[ -\frac{1}{2} \ln(2\pi\sigma^2) - \frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma^2} \right] $$ $$ = -\frac{n}{2} \ln(2\pi) - \frac{n}{2} \ln(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 $$ --- ### 第二步：对 $\sigma^2$ 求导并令导数为 0 令： $$ \ell(\sigma^2) = \ln L(\sigma^2) = -\frac{n}{2} \ln(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 $$ 对 $\sigma^2$ 求导： $$ \frac{d\ell}{d\sigma^2} = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 $$ 令导数为 0： $$ -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 = 0 $$ 两边乘以 $2(\sigma^2)^2$： $$ -n\sigma^2 + \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 = 0 $$ $$ \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 = n\sigma^2 $$ $$ \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 $$ --- ### 第三步：结论 所以，$\sigma^2$ 的最大似然估计量是： $$ \boxed{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2} $$ --- ### 正确选项是： $$ \boxed{\text{C. } \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2} $$ --- ### 补充说明： - 选项 A（$S^2$）是样本方差，它是无偏估计，但不是最大似然估计。 - 选项 B 是 $S^2$ 的有偏版本，也不是 MLE。 - 选项 D 是无偏估计，但不是 MLE。 - 选项 C 是最大似然估计量，因为它是通过最大化似然函数得到的。

解析

考查要点：本题主要考查正态分布参数的最大似然估计，重点在于理解已知均值μ时方差σ²的MLE形式。

解题核心思路：

  1. 写出似然函数：根据正态分布的概率密度函数，构造样本的联合概率函数。
  2. 对数似然函数：对似然函数取对数简化计算。
  3. 求导并解方程：对σ²求导，令导数为0，解出σ²的估计量。
  4. 关键点：当μ已知时，MLE的分母为n；若μ未知（需用样本均值代替），分母为n-1（此时为无偏估计）。

破题关键：

  • 区分MLE与无偏估计：MLE不一定是无偏的，本题中μ已知，直接使用总体均值，因此分母为n。

步骤1：写出似然函数

总体服从$N(\mu, \sigma^2)$，样本为$X_1, X_2, \dots, X_n$，概率密度函数为：
$f(x_i; \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$
似然函数为：
$L(\sigma^2) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

步骤2：对数似然函数

取对数并整理：
$\ln L(\sigma^2) = -\frac{n}{2} \ln(2\pi) - \frac{n}{2} \ln(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2$

步骤3：求导并解方程

对$\sigma^2$求导并令导数为0：
$\frac{d}{d\sigma^2} \left[ -\frac{n}{2} \ln(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 \right] = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2\sigma^4} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 = 0$
解得：
$\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2$

选项分析

  • 选项C是通过MLE推导得到的结果。
  • 选项D是样本方差$S^2$，分母为$n-1$，用于无偏估计，但非MLE。