题目
8.设总体Xsim N(mu,1)，X_(1),X_(2),...,X_(n) (n>1)为其样本，overline(X)是样本均值，则以下统计量服从chi^2分布的是（）A. sum_(i=1)^n(X_(i)-mu)B. 2(X_(1)-X_(n))^2C. (overline(X)-mu)^2D. sum_(i=1)^n(X_(i)-overline(X))^2
8.设总体$X\sim N(\mu,1)$，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n} (n>1)$为其样本，$\overline{X}$是样本均值，则以下统计量服从$\chi^{2}$分布的是（）
A. $\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)$
B. 2$(X_{1}-X_{n})^{2}$
C. $(\overline{X}-\mu)^{2}$
D. $\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$
题目解答
答案
D. $\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}$
解析
步骤 1：分析选项 (A)
$\sum_{i=1}^{n}(X_i - \mu)$ 是样本值与总体均值之差的和。由于 $X_i \sim N(\mu, 1)$，则 $X_i - \mu \sim N(0, 1)$。因此，$\sum_{i=1}^{n}(X_i - \mu)$ 服从 $N(0, n)$，不是 $\chi^2$ 分布。
步骤 2：分析选项 (B)
$2(X_1 - X_n)^2$ 中，$X_1 - X_n$ 服从 $N(0, 2)$，因为 $X_1$ 和 $X_n$ 都是独立的 $N(\mu, 1)$ 随机变量。$(X_1 - X_n)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布，但乘以2后，不是标准的 $\chi^2$ 分布。
步骤 3：分析选项 (C)
$(\overline{X} - \mu)^2$ 中，$\overline{X} \sim N(\mu, \frac{1}{n})$，因此 $\overline{X} - \mu \sim N(0, \frac{1}{n})$。$(\overline{X} - \mu)^2$ 服从自由度为1的 $\chi^2$ 分布，但需要乘以 $n$ 才是标准形式。
步骤 4：分析选项 (D)
$\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$ 是样本方差的 $n-1$ 倍，即 $(n-1)S^2$，其中 $S^2$ 是样本方差。根据样本方差的性质，$(n-1)S^2$ 服从自由度为 $n-1$ 的 $\chi^2$ 分布。
$\sum_{i=1}^{n}(X_i - \mu)$ 是样本值与总体均值之差的和。由于 $X_i \sim N(\mu, 1)$，则 $X_i - \mu \sim N(0, 1)$。因此，$\sum_{i=1}^{n}(X_i - \mu)$ 服从 $N(0, n)$，不是 $\chi^2$ 分布。
步骤 2：分析选项 (B)
$2(X_1 - X_n)^2$ 中，$X_1 - X_n$ 服从 $N(0, 2)$，因为 $X_1$ 和 $X_n$ 都是独立的 $N(\mu, 1)$ 随机变量。$(X_1 - X_n)^2$ 服从 $\chi^2$ 分布，但乘以2后，不是标准的 $\chi^2$ 分布。
步骤 3：分析选项 (C)
$(\overline{X} - \mu)^2$ 中，$\overline{X} \sim N(\mu, \frac{1}{n})$，因此 $\overline{X} - \mu \sim N(0, \frac{1}{n})$。$(\overline{X} - \mu)^2$ 服从自由度为1的 $\chi^2$ 分布，但需要乘以 $n$ 才是标准形式。
步骤 4：分析选项 (D)
$\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X})^2$ 是样本方差的 $n-1$ 倍，即 $(n-1)S^2$，其中 $S^2$ 是样本方差。根据样本方差的性质，$(n-1)S^2$ 服从自由度为 $n-1$ 的 $\chi^2$ 分布。