题目
(X,Y)是二维随机向量,与(Cov)(X,Y)=0不等价的是().A. E(XY)=EX cdot EYB. D(X+Y)=DX+DYC. D(X-Y)=DX+DYD. X与Y独立.
$(X,Y)$是二维随机向量,与$\text{Cov}(X,Y)=0$不等价的是().
A. $E(XY)=EX \cdot EY$
B. $D(X+Y)=DX+DY$
C. $D(X-Y)=DX+DY$
D. $X$与$Y$独立.
题目解答
答案
D. $X$与$Y$独立.
解析
步骤 1：分析选项A
协方差 $\text{Cov}(X, Y)$ 的定义为：\[ \text{Cov}(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] \] 展开这个表达式，我们得到：\[ \text{Cov}(X, Y) = E[XY - XE(Y) - E(X)Y + E(X)E(Y)] = E(XY) - E(X)E(Y) - E(X)E(Y) + E(X)E(Y) = E(XY) - E(X)E(Y) \] 因此， $\text{Cov}(X, Y) = 0$ 当且仅当 $E(XY) = E(X)E(Y)$。所以，选项A与 $\text{Cov}(X, Y) = 0$ 等价。
步骤 2：分析选项B
方差的性质之一是：\[ D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X, Y) \] 因此， $D(X+Y) = D(X) + D(Y)$ 当且仅当 $2\text{Cov}(X, Y) = 0$，即 $\text{Cov}(X, Y) = 0$。所以，选项B与 $\text{Cov}(X, Y) = 0$ 等价。
步骤 3：分析选项C
方差的性质之一是：\[ D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2\text{Cov}(X, Y) \] 因此， $D(X-Y) = D(X) + D(Y)$ 当且仅当 $-2\text{Cov}(X, Y) = 0$，即 $\text{Cov}(X, Y) = 0$。所以，选项C与 $\text{Cov}(X, Y) = 0$ 等价。
步骤 4：分析选项D
如果 $X$ 与 $Y$ 独立，那么 $\text{Cov}(X, Y) = 0$。然而，反之不一定成立。存在一些情况下， $\text{Cov}(X, Y) = 0$ 但 $X$ 与 $Y$ 不独立。因此，选项D与 $\text{Cov}(X, Y) = 0$ 不等价。
协方差 $\text{Cov}(X, Y)$ 的定义为：\[ \text{Cov}(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] \] 展开这个表达式，我们得到：\[ \text{Cov}(X, Y) = E[XY - XE(Y) - E(X)Y + E(X)E(Y)] = E(XY) - E(X)E(Y) - E(X)E(Y) + E(X)E(Y) = E(XY) - E(X)E(Y) \] 因此， $\text{Cov}(X, Y) = 0$ 当且仅当 $E(XY) = E(X)E(Y)$。所以，选项A与 $\text{Cov}(X, Y) = 0$ 等价。
步骤 2：分析选项B
方差的性质之一是：\[ D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X, Y) \] 因此， $D(X+Y) = D(X) + D(Y)$ 当且仅当 $2\text{Cov}(X, Y) = 0$，即 $\text{Cov}(X, Y) = 0$。所以，选项B与 $\text{Cov}(X, Y) = 0$ 等价。
步骤 3：分析选项C
方差的性质之一是：\[ D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2\text{Cov}(X, Y) \] 因此， $D(X-Y) = D(X) + D(Y)$ 当且仅当 $-2\text{Cov}(X, Y) = 0$，即 $\text{Cov}(X, Y) = 0$。所以，选项C与 $\text{Cov}(X, Y) = 0$ 等价。
步骤 4：分析选项D
如果 $X$ 与 $Y$ 独立，那么 $\text{Cov}(X, Y) = 0$。然而，反之不一定成立。存在一些情况下， $\text{Cov}(X, Y) = 0$ 但 $X$ 与 $Y$ 不独立。因此，选项D与 $\text{Cov}(X, Y) = 0$ 不等价。