53【判断题】(1.5分) 已知A=}3&-17&11A. 对B. 错

本题考查矩阵特征值与特征向量的定义。解题思路是根据矩阵特征值与特征向量的定义$A\vec{\xi}=\lambda\vec{\xi}$（其中$A$为矩阵，$\lambda$为特征值，$\vec{\xi}$为对应的特征向量），分别验证$\lambda = 4$和$\lambda = 10$时，给定的特征向量是否满足该定义。

验证$\lambda = 4$对应的特征向量$k(1, -1)^{T}$

设$\vec{\xi}_1 = k(1, -1)^{T}=\begin{bmatrix}k\\-k\end{bmatrix}$，$\lambda_1 = 4$，矩阵$A=\begin{bmatrix}3&-1\\7&11\end{bmatrix}$。
计算$A\vec{\xi}_1$：
$\begin{align*}A\vec{\xi}_1&=\begin{bmatrix}3&-1\\7&11\end{bmatrix}\begin{bmatrix}k\\-k\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}3\times k+(-1)\times(-k)\\7\times k + 11\times(-k)\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}3k + k\\7k-11k\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}4k\\-4k\end{bmatrix}\\&=4\begin{bmatrix}k\\-k\end{bmatrix}\\&=\lambda_1\vec{\xi}_1\end{align*}$
所以$k(1, -1)^{T}$是$\lambda = 4$对应的特征向量。

验证$\lambda = 10$对应的特征向量$k(1, -7)^{T}$

设$\vec{\xi}_2 = k(1, -7)^{T}=\begin{bmatrix}k\\-7k\end{bmatrix}$，$\lambda_2 = 10$，矩阵$A=\begin{bmatrix}3&-1\\7&11\end{bmatrix}$。
计算$A\vec{\xi}_2$：
$\begin{align*}A\vec{\xi}_2&=\begin{bmatrix}3&-1\\7&11\end{bmatrix}\begin{bmatrix}k\\-7k\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}3\times k+(-1)\times(-7k)\\7\times k + 11\times(-7k)\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}3k + 7k\\7k-77k\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}10k\\-70k\end{bmatrix}\\&=10\begin{bmatrix}k\\-7k\end{bmatrix}\\&=\lambda_2\vec{\xi}_2\end{align*}$
所以$k(1, -7)^{T}$是$\lambda = 10$对应的特征向量。

综上，题目说法正确。