【2020，1，江苏】极限lim_(xto0)(xsin(2)/(x)+2^(sin x)/(x))的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4

考查要点：本题主要考查极限的运算，特别是涉及三角函数与指数函数的组合极限。需要掌握分段求极限的方法，以及夹逼定理和常见极限公式的应用。

解题核心思路：

1. 分解极限：将原式拆分为两个部分分别求极限，再相加结果。
2. 处理第一部分：利用夹逼定理判断$x \sin \frac{2}{x}$的极限为0。
3. 处理第二部分：利用$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，结合指数函数性质求得极限为2。
4. 综合结果：两部分相加得到最终答案。

第一部分：$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{2}{x}$

应用夹逼定理

由于$\sin \frac{2}{x}$的取值范围为$[-1, 1]$，因此：
$-|x| \leq x \sin \frac{2}{x} \leq |x|$
当$x \to 0$时，$|x| \to 0$，根据夹逼定理，得：
$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{2}{x} = 0$

第二部分：$\lim_{x \to 0} 2^{\frac{\sin x}{x}}$

求指数部分的极限

利用常见极限公式$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，得：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
因此：
$2^{\frac{\sin x}{x}} \to 2^1 = 2$

综合结果

将两部分相加：
$\lim_{x \to 0} \left( x \sin \frac{2}{x} + 2^{\frac{\sin x}{x}} \right) = 0 + 2 = 2$